Калькулятор дробные: Онлайн Калькулятор. Вычисления с обыкновенной и десятичной дробями.

Сортировка дробей: онлайн калькулятор | BBF.RU

Дробь – это соотношение двух чисел, при помощи которого можно представить любой элемент рационального множества. По способу записи дробные числа делятся на обыкновенные вида m/n и десятичные. Обыкновенные дроби с разными числителями и знаменателями сложно отсортировать по возрастанию/убыванию на интуитивном уровне, как это происходит с десятичными. Для этого и нужен наш калькулятор.

Представление рациональных чисел в виде дроби

Когда люди столкнулись с проблемой отделения части от целого, они придумали дроби. Если разделить круглый торт на 4 куска, то каждый кусочек лакомства будет представлять собой 1/4 от целого торта. С введением десятичной системы исчисления 1/4 превратилась в 0,25 и для современных людей такое обозначение четвертой части чего-либо гораздо понятнее. Однако 0,25 можно выразить бесконечным количеством дробей: 1/4, 2/8, 25/100 или 752/3008. Последняя дробь так и вовсе неочевидна и интуитивно непонятно, какое число она собой представляет.

Такая проблема возникает и в случаях, когда перед глазами множество самых разных дробей. Узнать какое дробное число больше или меньше на первый взгляд очень сложно: приходится подсчитывать в уме соотношение чисел или приводить их к общему знаменателю. В зависимости от представленного набора дробей, их сортировка происходит по-разному.

Дроби с одинаковыми знаменателями

Сортировка таких дробей не представляет ничего сложного. Если у рациональных чисел одинаковый знаменатель, то их упорядочивание осуществляется по числителям. Например, для набора 1/5, 10/5, 4/5 и 3/5 очевидно, что элементы сортируются:

по возрастанию – 1/5, 3/5, 4/5, 10/5;
по убыванию – 10/5, 4/5, 3/5, 1/5.

Главное правило: смотрим на числители и выполняем сортировку по ним.

Дроби с одинаковыми числителями

Набор рациональных чисел может выглядеть иначе: знаменатели все разные, но числитель один и тот же. К примеру, у нас есть набор: 3/5, 3/20, 3/10, 3/7. Как их отсортировать? Во всех случаях мы делим тройку на разные числа, и чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби. Очевидно, что число 3 деленное на 20 в любом случае меньше 3 деленного на 5. Если подсчитать эти значения мы получим десятичные дроби 0,06 и 0,6, и такие значения нетрудно сопоставить. Сортировка таких дробей выполняется по знаменателям, но в обратном порядке. Для нашего примера сортировка будет выглядеть так:

по возрастанию – 3/20, 3/10, 3/7, 3/5;
по убыванию – 3/5, 3/7, 3/10, 3/20.

Чем больше знаменатель – тем меньше значение дроби. Главное правило: смотрим на знаменатели и сортируем числа в обратном порядке.

Абсолютно разные дроби

Предыдущие примеры были слишком простыми. В большинстве случаев наборы рациональных чисел содержат совершенно разные дроби, с различными числителями и знаменателями. В этой ситуации единственным верным способом сортировки становится метод привидения всех элементов к общему знаменателю. Существует три метода определения общего знаменателя: использование максимального знаменателя, последовательный перебор кратных или разложение на простые множители. В общем случае поиск общего знаменателя сводится к задаче определения наименьшего общего кратного (НОК).

Первый метод подразумевает проверку наибольшего знаменателя на делимость остальными. Если максимальный знаменатель делится с остатком, то он умножается на 2, 3, 4 и так далее до тех пор, пока не станет кратным всем остальным знаменателям. Второй метод сложнее, так как нам требуется последовательно выписывать кратные числа для каждого знаменателя до тех пор, пока не найдутся общие, что тоже неудобно.

Самый удобный, а потому и наиболее распространенный метод поиска НОК состоит в разложении на простые множители. Каждое целое число можно разложить на простые множители единственным способом с точностью до порядка расположения сомножителей. К примеру, число 30 можно разложить на 2 × 3 × 5, а число 20 на 2 × 2 × 5. Наименьшее общее кратное для этих чисел представляет собой число, которое состоит из общих для этих чисел неделимых множителей. Для данной пары это 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Проводить данные операции вручную дело долгое и утомительное. Наша программа автоматически сортирует обыкновенные и десятичные дроби по возрастанию или убыванию. Для этого вам достаточно ввести значения через пробел в форму калькулятора и сделать один клик мышкой. Особенность программы состоит в том, что в случае разнородного набора рациональных чисел (десятичные и обыкновенные дроби), калькулятор вначале сортирует десятичные, а затем обыкновенные дроби. Таким образом, калькулятор разделяет смешанные наборы на две совокупности обыкновенных и десятичных дробей и сортирует их по отдельности.

Рассмотрим пример

Пример сортировки

Пусть у нас есть совокупность разнородных чисел:

1/5, 2/9, 0,75, 5/7, 0,2, 6/13, 0,35, 8/15.

На первый взгляд не угадаешь, какое из этих чисел наибольшее, а какое – наименьшее. Вручную нам пришлось бы раскладывать на множители или подбирать кратные, но при помощи компьютера мы можем на выбор:

перевести обыкновенные дроби в десятичные;
отсортировать их при помощи онлайн-калькулятора.

Давайте попробуем и то, и другое. Представим нашу совокупность в виде десятичных дробей:

0,2 0,22 0,75 0,71 0,2 0,46 0,35 0,53

Мы просто подсчитали значение заданных дробей и расположили соответственно исходному ряду. Отсортировать такие числа проще простого, но опять же, это лишние усилия на промежуточные операции. Давайте просто введем наш ряд в форму калькулятора и получим ответ:

по возрастанию – 1/5, 2/9, 6/13, 8/15, 5/7; 0,2; 0,35; 0,75;
по убыванию – 0,75, 0,35, 0,2; 5/7, 8/15, 6/13, 2/9, 1/5.

Заключение

Сортировка дробных значений необходима при обработке любых данных, поэтому на практике вы можете столкнуться с необходимостью упорядочивания различных значений. Ученикам же наш калькулятор пригодится для проверки решений по арифметике.

несколько полезных доработок списка калькуляторов

Коллеги, всем добрый день! Сегодня пишу с важной новостью.

Последние несколько месяцев я получал много комментариев и писем от посетителей сайта с просьбой доработать калькуляторы на сайте, сделать их удобнее и подправить некоторые баги.

Ошибки

Путем разбора ваших обращений, удалось выявить следующие технические ошибки:

1. Удаление части вводимого числа. Вставляем с клавиатуры значения с пробелом, например 230 388 и форма удаляет числа после пробела (получается 230).

2. В полях отсутствует возможность указать дробное число (число с точкой или запятой), позволяет указать только целое.

3. При добавлении в поле десяти знаков, начинается какая-то белиберда. Ниже гифка с проблемой.

4. Неадаптивные к мобильным экранам поля и формы в калькуляторах. Необходимо сделать дружелюбное отображение полей калькулятора на устройствах с маленьким экраном.

Итого

На сегодняшний день все выявленные проблемы в калькуляторах доработаны:

Число содержащее пробел корректно отображается в полях даже после переноса из таблиц и ячеек Excel. Значение приводится к виду 230388;
Дробные числа в поле при вводе и в итоговом значение приводятся к единому формату — разделителем является запятая.
Исправлен баг с вводом более десяти знаков в поле.
Доработана адаптивная верстка страниц. Ниже представлен дружелюбный вид калькулятора CPA на мобильном устройстве.

Несколько скриншотов работы калькулятора.

Отображение калькулятора на мобильном устройстве.

Исправления внесены на сайт и ждут вашей оценки. Пишите на контактную почту [email protected], если удастся выявить технические проблемы в работе или ошибки в описании к инструментам.

Вы можете самостоятельно потестировать функционал, жмите по ссылке.

Не забывайте поддерживать проект финансово и подписываться на материалы и статьи сайта. Вся информация в блоке ниже!

Сохраните ссылку

Читайте дальше:

Метки #инструменты, #калькуляторы

линейные, квадратные и дробные. Решение квадратных уравнений Неполные квадратные уравнения

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой.

Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k

График функции y = k/x, при k

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат — асимптоты гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

y(x) = e x , производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является

число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045. ..

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
— ∞ Ее множество значений:
0 .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат — борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого «борщевого» прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.

Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.

В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.

Линейные угловые функции — это законы сложения.

Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.

Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания.

А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.

Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или единицы измерения.

На рисунке показаны два уровня различий для математических . Первый уровень — это различия в области чисел, которые обозначены a , b , c . Это то, чем занимаются математики. Второй уровень — это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U . Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень — различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями.

Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B — борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.

Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики — мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.

И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.

Первый вариант . Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.

Второй вариант . Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.

Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.

Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.

Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).

Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что . Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните — все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: «деление на ноль невозможно», «любое число, умноженное на ноль, равняется нулю», «за выколом точки ноль» и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу — это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что » мы покрасили». Но я немного отвлекся.

Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.

Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).

Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.

Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))

Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.

Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.

Появление математики на нашей планете.

Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.

суббота, 26 октября 2019 г.

Просмотрел интересное видио про ряд Гранди Один минус один плюс один минус один — Numberphile . Математики врут. Они не выполнили проверку равенства в ходе своих рассуждений.

Это перекликается с моими рассуждениями о .

Давайте более детально рассмотрим признаки обмана нас математиками. В самом начале рассуждений, математики говорят, что сумма последовательности ЗАВИСИТ от того, четное количество элементов в ней или нет. Это ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННЫЙ ФАКТ. Что происходит дальше?

Дальше математики из единицы вычитают последовательность. К чему это приводит? Это приводит к изменению количества элементов последовательности — четное количество изменяется на нечетное, нечетное изменяется на четное. Ведь мы добавили к последовательности один элемент, равный единице. Несмотря на всю внешнюю схожесть, последовательность до преобразования не равна последовательности после преобразования. Даже если мы рассуждаем о бесконечной последовательности, необходимо помнить, что бесконечная последовательность с нечетным количеством элементов не равна бесконечной последовательности с четным количеством элементов.

Ставя знак равенства между двумя разными по количеству элементов последовательностями, математики утверждают, что сумма последовательности НЕ ЗАВИСИТ от количества элементов в последовательности, что противоречит ОБЪЕКТИВНО УСТАНОВЛЕННОМУ ФАКТУ. Дальнейшие рассуждения о сумме бесконечной последовательности являются ложными, поскольку основаны на ложном равенстве.

Если вы видите, что математики в ходе доказательств расставляют скобки, переставляют местами элементы математического выражения, что-нибудь добавляют или убирают, будьте очень внимательны, скорее всего вас пытаются обмануть. Как карточные фокусники, математики различными манипуляциями с выражением отвлекают ваше внимание, чтобы в итоге подсунуть вам ложный результат. Если карточный фокус вы не можете повторить, не зная секрета обмана, то в математике всё гораздо проще: вы даже ничего не подозреваете об обмане, но повторение всех манипуляций с математическим выражением позволяет вам убедить других в правильности полученного результата, точно так же, как когда-то убедили вас.

Вопрос из зала: А бесконечность (как количество элементов в последовательности S), она четная или нечётная? Как можно поменять четность у того, что четности не имеет?

Бесконечность для математиков, как Царство Небесное для попов — никто никогда там не был, но все точно знают, как там всё устроено))) Согласен, после смерти вам будет абсолютно безразлично, четное или нечетное количество дней вы прожили, но… Добавив всего один день в начало вашей жизни, мы получим совсем другого человека: фамилия, имя и отчество у него точно такие же, только дата рождения совсем другая — он родился за один день до вас.

А теперь по существу))) Допустим, конечная последовательность, имеющая четность, теряет эту четность при переходе к бесконечности. Тогда и любой конечный отрезок бесконечной последовательности должен потерять четность. Мы этого не наблюдаем. То, что мы не можем точно сказать, четное или нечетное количество элементов у бесконечной последовательности, совсем не означает, что четность исчезла. Не может четность, если она есть, бесследно исчезнуть в бесконечности, как в рукаве шулера. Для этого случая есть очень хорошая аналогия.

Вы никогда не спрашивали у кукушки, сидящей в часах, в каком направлении вращается стрелка часов? Для неё стрелка вращается в обратном направлении тому, которое мы называем «по часовой стрелке». Как это не парадоксально звучит, но направление вращения зависит исключительно от того, с какой стороны мы вращение наблюдаем. И так, у нас есть одно колесо, которое вращается. Мы не можем сказать, в каком направлении происходит вращение, поскольку мы его можем наблюдать как с одной стороны плоскости вращения, так и с другой. Мы можем только засвидетельствовать факт, что вращение есть. Полная аналогия с четностью бесконечной последовательности S .

Теперь добавим второе вращающееся колесо, плоскость вращения которого параллельна плоскости вращения первого вращающегося колеса. Мы по прежнему не можем точно сказать, в каком направлении вращаются эти колеса, но мы абсолютно точно можем сказать, вращаются оба колеса в одну сторону или в противоположные. Сравнивая две бесконечные последовательности S и 1-S , я при помощи математики показал, что у этих последовательностей разная четность и ставить знак равенства между ними — это ошибка. Лично я верю математике, я не доверяю математикам))) Кстати, для полного понимания геометрии преобразований бесконечных последовательностей, необходимо вводить понятие «одновременность» . Это нужно будет нарисовать.

среда, 7 августа 2019 г.

Завершая разговор о , нужно рассмотреть бесконечное множество. Дало в том, что понятие «бесконечность» действует на математиков, как удав на кролика. Трепетный ужас перед бесконечностью лишает математиков здравого смысла. Вот пример:

Первоисточник находится . Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:

Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда «дуракам закон не писан». Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.

Что же такое «бесконечная гостиница»? Бесконечная гостиница — это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре «для посетителей» заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами «для гостей». Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у «бесконечной гостиницы» бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда — всегда только один, гостиница — она одна, коридор — только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно «впихнуть невпихуемое».

Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует — одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.

Вариант первый. «Пусть нам дано» одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:

Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.

Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю — РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:

Нижние индексы «один» и «два» указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.

Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.

Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения — это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).

pozg.ru

воскресенье, 4 августа 2019 г.

Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

Читаем: «… богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы.»

Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду — имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

суббота, 3 августа 2019 г.

Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.

Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку «люди» Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения «половой признак» и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество «люди» превратилось в множество «люди с половыми признаками». После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой — мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет — умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.

После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат — «множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин». Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.

Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.

Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как «правильно» применять их «знания». Этим «знаниям» они обучают нас.

В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
Покажу процесс на примере. Отбираем «красное твердое в пупырышку» — это наше «целое». При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть «целого» и формируем множество «с бантиком». Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.

А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем «твердое в пупырышку с бантиком» и объединим эти «целые» по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество «красное». Теперь вопрос на засыпку: полученные множества «с бантиком» и «красное» — это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.

Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество «красное твердое в пупырышку с бантиком». Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.

Буква «а» с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется «целое» на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат — элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут «интуитивно» придти к такому же результату, аргументируя его «очевидностью», ведь единицы измерения не входят в их «научный» арсенал.

При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
x 2 − 8x + 12 = 0;
5x 2 + 3x + 7 = 0;
x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

x 2 − 2x − 3 = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:
x 2 − 7x = 0;
5x 2 + 30 = 0;
4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

передаточные числа рядов и главных пар

Калькулятор КПП позволяет рассчитать зависимость скорости автомобиля от рабочих оборотов двигателя на каждой передаче с учетом ряда параметров: передаточное отношение ряда в КПП, главной пары (редуктора), размера колес. Расчет ведется для двух разных конфигураций КПП для проведения сравнительного анализа. Это позволяет правильно подобрать тюнинговый ряд и ГП для коробки переключения передач.

Результаты расчета КПП выводятся в табличном и графическом виде. Графики позволяют произвести визуальный анализ, оценить «длину» каждой передачи, и «разрыв» между ними (на сколько падают обороты двигателя при переключении на повышенную передачу)

Заполните графы параметров колеса: ширину и высоту профиля покрышки (ищите маркировку на боковине покрышки) и диаметр колесного диска. Обратите внимание: маркировка R на покрышке означает ее конструкцию – радиальная, например, R14 — покрышка радиальной конструкции диаметром 14 дюймов.
Введите передаточное число главной пары и каждой передачи в соответствующие графы калькулятора КПП (разделитель дробной части – точка). Если шестой передачи нет, вводите ноль.
Нажмите кнопку «Рассчитать КПП».

Ряды КПП переднеприводных ВАЗ (конструктив 2108)

ряд КПП	1 передача	2 передача	3 передача	4 передача	5 передача	6 передача
стандартный	3,636	1,950	1,357	0,941	0,784	–
5 ряд	2,923	1,810	1,276	0,969	0,784
6 ряд	2,923	1,810	1,276	1,063	0,941
7 ряд	2,923	2,050	1,555	1,310	1,129
8 ряд	3,415	2,105	1,357	0,969	0,784
11 ряд	3,636	2,222	1,538	1,167	0,880
12 ряд	3,170	1,950	1,357	1,031	0,784
15 ряд	3,170	1,810	1,276	0,941	0,730
18 ряд	3,170	2,105	1,480	1,129	0,880
20 ряд	3,170	1,950	1,276	0,941	0,730
102 ряд	3,170	1,950	1,357	0,941	0,730
103 ряд	2,923	1,950	1,357	0,941	0,692
104 ряд	2,923	1,950	1,357	1,031	0,692
111 ряд	3,170	2,222	1,538	1,167	0,880
200 ряд	2,923	2,222	1,76	1,39	1,167

Графики зависимости скорости автомобиля от рабочих оборотов двигателя на каждой передаче.

Учимся решать дроби в онлайн калькуляторе

В этом материале рассмотрим, каким образом применяя онлайн-калькулятор узнать, как решать дроби.

Беседа пойдет о калькуляторе дробей
http://reshit.ru/Kalkulyator-drobey-onlayn-s-resheniem

Этот калькулятор дает возможность решить стандартные операции с двумя дробями.Благодаря калькулятору возможно суммировать, отнимать, делить и множить дроби.
Результат выходит в форме компактного изображения, на котором ясно указано всё решение.
Приведем к рассмотрению стандартные варианты вычисления дробей, применяя этот онлайн-калькулятор попытаемся написать в него 2 дроби разъеденив их соответствующим знаком
Берем например 2/3 и 3/7.

Для умножения вставляем между ними *
Для деления ÷
Для суммирования + и — для того чтобы отнять.

Калькулятор покажет нам результат в изображениях.

Как вы заметили, чтобы прибавить дроби нужно всего лишь перемножить знаменатели и числители.
Чтобы разделить две дроби, требуется умножить одну дробь, на другую перевернутую.
Для прибавления или вычитания требуется всего-лишь привести дроби к одному знаменателю и провести нужные операции с числителями.

И что в результате нужно сделать-это прибавить или отнять числители приведенных к одному знаменателю дробей.

Сложнейшие дроби, с целой частью, неположительные , случаи в которых у вас 3 и больше имеют решение.Нужно разделить этот более лёгкий пример на лёгкие операции с 2 дробями, и вы тоже будете иметь возможность сосчитать их на калькуляторе.

Например, у вас задача из сложения 3-ех дробей.Изначально суммируйте 2, а затем сложите к ней 3, чтобы получить результат.

Если дробь имеет целую часть, достаточно занести ее в дробное выражение, умножьте знаменатель на целую часть и добавьте умноженное к числителю.
Отрицательные дробные выражения вычисляются так как и простые.Если вы умеете вычитать, прибавлять, делить, умножать отрицательные, целочисленные выражения, то с дробями те же знаковые законы.

Но даже, если исследовав систему калькулятора, вы не совсем уловили смысл, то можете посмотреть ролик, в котором суть вычисления дробей показана на яблоках.

После изучения теории, закрепите полученные знания практикой.Вычислите несколько выражений самостоятельно, затем сверьтесь с онлайн-калькулятором. Несколько примеров вполне подойдет.

Знать как вычисляются дроби, очень нужно, так как они часто попадаются в заданиях университета, старшей школы, да и в жизни.
Они легки и изучаются с 3-5 класса, затем часто используются в дальнейшем.Усвоив суть их решения, вы навсегда запомните и вряд ли разучитесь их решать.

Но если вы и забудете, на помощь всегда придет онлайн-калькулятор дробей и напомнит умения и знания.
На этом можно завершить обзор онлайн-дробей.
Также кроме этих знаний на сайте, вы можете найти таблицу производных, онлайн-калькулятор вычисляющий квадратные уравнения (http://reshit. ru/reshit-kvadratnoe-uravnenie-onlain) и другие сервисы и материалы.

Калькулятор дробей

Использование калькулятора

Используйте этот калькулятор дробей для сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Ответы представляют собой дроби в наименьшем выражении или смешанные числа в сокращенной форме.

Введите правильные или неправильные дроби, выберите математический знак и нажмите «Рассчитать». Это калькулятор дробей с шагами, показанными в решении.

Если у вас есть отрицательные дроби, поставьте знак минус перед числителем.Итак, если одна из ваших дробей равна -6/7, вставьте -6 в числитель и 7 в знаменатель.

Иногда в математических задачах встречается слово «из», например, Что такое 1/3 от 3/8? На средства нужно умножить, поэтому нужно решить 1/3 × 3/8.

Для выполнения математических операций со смешанными числами (целыми числами и дробями) используйте Калькулятор смешанных чисел.

Математика дробей с разными знаменателями

Есть 2 случая, когда вам нужно знать, имеют ли ваши дроби разные знаменатели:

если вы складываете дроби
если вы вычитаете дроби

Как складывать и вычитать дроби

Найдите наименьший общий знаменатель
Вы можете использовать ЖК-калькулятор для нахождения наименьшего общего знаменателя набора дробей
Для первой дроби найдите, на какое число нужно умножить знаменатель, чтобы получить наименьший общий знаменатель
Умножьте числитель и знаменатель первой дроби на это число
Повторите шаги 3 и 4 для каждой фракции
Для уравнений сложения добавьте числители дробей
Для уравнений вычитания вычтите числители дробей
Преобразование неправильных дробей в смешанные числа
Сократить дробь до наименьшего члена

Как умножать дроби

Умножить все числители вместе
Умножить все знаменатели вместе
Уменьшить результат до минимума

Как делить дроби

Перепишите уравнение как в «Сохранить, изменить, перевернуть»
Сохранить первую дробь
Изменить знак деления на умножение
Переверните вторую дробь, поменяв местами верхние и нижние числа
Умножить все числители вместе
Умножить все знаменатели вместе
Уменьшить результат до минимума

Формулы дробей

Существует способ складывать или вычитать дроби, не находя наименьший общий знаменатель (LCD). Этот метод предполагает перекрестное умножение дробей. См. формулы ниже.

Возможно, вы обнаружите, что использовать эти формулы проще, чем заниматься математикой, чтобы найти наименьший общий знаменатель.

Формулы для умножения и деления дробей следуют тому же процессу, что описан выше.

Добавление дробей

Формула сложения дробей:

\( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd} \)

Пример шагов:

\( \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{(2\times4) + (6\times1)}{6\times4} \)

\( = \dfrac{14}{24} = \dfrac{7}{12} \)

Вычитание дробей

Формула вычитания дробей:

\( \dfrac{a}{b} — \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad — bc}{bd} \)

Пример шагов:

\( \dfrac{2}{6} — \dfrac{1}{4} = \dfrac{(2\times4) — (6\times1)}{6\times4} \)

\( = \dfrac{2}{24} = \dfrac {1}{12} \)

Умножение дробей

Формула умножения дробей:

\( \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} \)

Пример шагов:

\( \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2\times1}{6\times4} \)

\( = \dfrac{2}{24} = \dfrac {1}{12} \)

Деление дробей

Формула деления дробей:

\( \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc} \)

Пример шагов:

\( \dfrac{2}{6} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{2\times4}{6\times1} \)

\( = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} = 1 \dfrac{1}{3} \)

Связанные калькуляторы

Для выполнения математических операций над дробями смешанных чисел используйте наш Калькулятор смешанных чисел. Этот калькулятор также может преобразовать неправильные дроби в смешанные числа и показать затраченную работу.

Если вы хотите упростить отдельные дроби до минимума, используйте наш Упрощенный калькулятор дробей.

Объяснение того, как разложить числа на множители для нахождения наибольшего общего делителя (НОД), см. Калькулятор наибольшего общего фактора.

Если вы упрощаете большие дроби вручную, вы можете использовать Длинное деление с калькулятором остатков, чтобы найти целое число и значения остатка.

Примечания

Калькулятор смешанных чисел

Использование калькулятора

Делайте математические вычисления со смешанными числами (смешанными дробями), выполняя операции над дробями, целыми числами, целыми числами, смешанными числами, смешанными дробями и неправильными дробями. Калькулятор смешанных чисел может складывать, вычитать, умножать и делить смешанные числа и дроби.

Калькулятор смешанных чисел (также известный как смешанные дроби):

Этот онлайн-калькулятор выполняет простые операции с целыми числами, целыми, смешанными числами, дробями и неправильными дробями путем сложения, вычитания, деления или умножения. Ответ дается в сокращенной дроби и смешанном числе, если оно существует.

Введите смешанные числа, целые числа или дроби в следующих форматах:

Смешанные числа: введите 1 1/2, что составляет полторы секунды, или 25 3/32, что составляет двадцать пять и три тридцать секунд.Оставьте ровно один пробел между целым числом и дробью и используйте косую черту для ввода дробей. Вы можете ввести до 3 цифр для каждого целого числа, числителя или знаменателя (123 456/789).
Целые числа: до 3 цифр в длину.
Дроби: введите 3/4, что составляет три четвертых, или 3/100, что составляет три сотых. Вы можете ввести до 3 цифр для каждого числителя и знаменателя (например, 456/789).

Сложение смешанных чисел с использованием формулы сложения дробей

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Используйте алгебраическую формулу сложения дробей:
a/b + c/d = (ad + bc) / bd
Сократите дроби и упростите, если возможно

Формула сложения дробей

\( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{(a \times d) + (b \times c)}{b \times d} \)

Пример

Добавить 1 2/6 и 2 1/4

\( 1 \dfrac{2}{6} + 2 \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{6} + \dfrac{9}{4} \)

\( = \dfrac{(8 \times 4) + (9 \times 6)}{6 \times 4} \)

\( = \dfrac{32 + 54}{24} = \dfrac{86}{24} = \dfrac{43}{12} \)

\( = 3 \dfrac{7}{12} \)

1 2/6 + 2 1/4 = 8/6 + 9/4 = (8*4 + 9*6) / 6*4 = 86 / 24

Получаем 86/24 и упрощаем до 3 7/12

Вычитание смешанных чисел с использованием формулы вычитания дробей

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Используйте алгебраическую формулу для вычитания дробей: a/b — c/d = (ad — bc) / bd
Сократите дроби и упростите, если возможно

Формула вычитания дробей

\( \dfrac{a}{b} — \dfrac{c}{d} = \dfrac{(a \times d) — (b \times c)}{b \times d} \)

Пример

Вычесть 2 1/4 из 1 2/6

1 2/6 — 2 1/4 = 8/6 — 9/4 = (8*4 — 9*6) / 6*4 = -22 / 24

Уменьшите дробь, чтобы получить -11/12

Умножение смешанных чисел с использованием формулы умножения дробей

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Используйте алгебраическую формулу умножения дробей: a/b * c/d = ac / bd
Сократите дроби и упростите, если возможно

Формула умножения дробей

\( \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d} \)

Пример

умножить 1 2/6 на 2 1/4

1 2/6 * 2 1/4 = 8/6 * 9/4 = 8*9 / 6*4 = 72 / 24

Сократите дробь, чтобы получить 3/1, и упростите до 3

Деление смешанных чисел по формуле деления дробей

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Используйте алгебраическую формулу деления дробей: a/b ÷ c/d = ad / bc
Сократите дроби и упростите, если возможно

Формула деления дробей

\( \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d}{b \times c} \)

Пример

разделить 1 2/6 на 2 1/4

1 2/6 ÷ 2 1/4 = 8/6 ÷ 9/4 = 8*4 / 9*6 = 32 / 54

Уменьшите дробь, чтобы получить 16/27

Связанные калькуляторы

Для выполнения математических операций над простыми правильными или неправильными дробями используйте наш Калькулятор дробей. Этот калькулятор упрощает ответы на неправильные дроби в смешанные числа.

Если вы хотите упростить отдельные дроби до минимума, используйте наш Упрощенный калькулятор дробей.

ЖК-калькулятор — наименьший общий знаменатель

Использование калькулятора

Используйте этот Калькулятор наименьшего общего знаменателя, чтобы найти наименьший общий знаменатель (LCD) дробей, целых и смешанных чисел. Нахождение ЖК-дисплея важно, потому что у дробей должен быть один и тот же знаменатель, когда вы выполняете математические операции сложения или вычитания с дробями.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Наименьший общий знаменатель (LCD) — наименьшее число, которое может быть общим знаменателем для набора дробей. Также известное как наименьший общий знаменатель, это наименьшее число, которое вы можете использовать в знаменателе для создания набора эквивалентных дробей с одинаковым знаменателем.

Как найти

ЖК-дисплей дробей, целых и смешанных чисел:

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, сначала преобразуйте все целые числа и смешанные числа (смешанные дроби) в дроби.Затем найдите наименьшее общее кратное ( НОК ) знаменателей. Это число совпадает с наименьшим общим знаменателем ( LCD ). Затем вы можете записать каждый термин в виде эквивалентной дроби с тем же значением. ЖК-дисплей знаменатель.

шагов, чтобы найти

LCD дробных, целых и смешанных чисел

Преобразование целых и смешанных чисел в неправильные дроби
Найти ЖКИ всех дробей
Перепишите дроби как эквивалентные дроби, используя ЖК-дисплей

Пример использования калькулятора наименьшего общего знаменателя

Найти ЖК-дисплей: 1 1/2, 3/8, 5/6, 3

Преобразование целых и смешанных чисел в неправильные дроби.
3/8 и 5/6 уже являются дробями, поэтому мы можем использовать их так, как они написаны.
1 1/2 равно (1/1) + (1/2). Используя формулу сложения дробей ((n1*d2)+(n2*d1))/(d1*d2), получаем ((1*2)+(1*1))/(1*2) = 3 /2.
3 можно переписать в виде дроби 3/1.
Эквивалентные дроби: 3/2, 3/8, 5/6, 3/1
Теперь найдите наименьший общий знаменатель ( LCD ) (или наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей)
Переписать дроби как эквивалентные дроби, используя ЖК-дисплей
- 36/24, 9/24, 20/24, 72/24

Связанные калькуляторы

У нас также есть калькуляторы для наименьший общий множитель, математика с дробями, упрощение дробей, математика со смешанными числами и сравнение дробей.

Калькулятор дробей

Дроби

/ Для ввода дроби вида 3/4. Щелкните число, затем щелкните дробную черту, затем щелкните другое число.

↔ Вы можете использовать кнопку пробела дроби, чтобы создать число формы 5 3/4. Введите число, затем щелкните дробную часть, щелкните другое число, а затем нажмите кнопку с дробной чертой и, наконец, введите другое число.

ДЕК FRA Кнопка десятичного формата и кнопка формата дроби работают как пара. При выборе одного другого отключается.
Кнопка десятичного формата используется для всех десятичных операций. Также изменить дробь вида 3/4 на десятичную 0,75, или дробь вида 7/4 или смешанное число вида 1 3/4 на десятичную 1,75. Нажмите кнопку десятичного формата, введите дробь или смешанное число, затем нажмите «равно».Если дробь или смешанное число — это только часть расчета, не нажимайте «равно» и продолжайте расчет как обычно. т.е. 3/4 УБ х 6 =.
Кнопка формата дроби используется для работы со всеми дробями. Также заменить десятичную дробь вида 0,5 на дробь 1/2 или заменить десятичную дробь вида 1,75 смешанным числом вида 1 3/4 или дробью 7/4, или дробью вида 7 /4 к смешанному числу 1 3/4. Нажмите кнопку формата дроби, введите десятичную дробь, нажмите «равно», затем нажмите на форму дроби, а затем нажмите «равно».Если часть десятичной дроби является частью вычисления, не нажимайте знак равно и продолжайте вычисление.

а ^б /с ^а+б /с Кнопка «Правильная дробь» и «Неправильная дробь» работают как пара. При выборе одного другого отключается.
Кнопка «Правильная дробь» используется для преобразования числа в форме 9/5 в форму 1 4/5. Правильная дробь – это дробь, у которой числитель (верхнее число) меньше знаменателя (нижнее число).
Кнопка «Неправильная дробь» используется для преобразования числа в форме 1 4/5 в форму 9/5. Неправильная дробь – это дробь, у которой числитель (верхнее число) больше или равен знаменателю (нижнее число).

Калькулятор дробей — сложение, вычитание, умножение и деление

Решатель дробей — это калькулятор для дробей, который может выполнять следующие арифметические операции.

Добавление фракций
Вычитание фракций
Увзреждающие фракции
Умножение фракций
Разделение фракций

Давайте пройдем некоторые важные вопросы, такие как как вы вычитаете фракции без использования вычитающих фракций и фракций , . Как рассчитать фракции и фракцию определение.

Что такое дробь?

Дробь — это числовая величина, которая не является целым числом (например, 1/2, 0,5). Это число, написанное так, что нижняя часть (знаменатель) говорит вам, на сколько частей делится целое, а верхняя часть (числитель) говорит, сколько у вас есть.

Фракция может быть выражена как:
2/3 —> Числитель / знаменатель
Где

Числитель = верхняя часть фракции.
Знаменатель = Нижняя часть дроби

Например: В 2/3 числитель равен 2, верхнее число. В знаменателе 3, нижнее число. Калькулятор сложения дробей может выполнять основные арифметические операции с заданными дробями.

Как складывать/вычитать дроби?

Сложение и вычитание дробей очень похожи и проще, особенно если вы используете калькулятор целых дробей выше. В любом случае, вы должны знать ручной метод выполнения дробных операций.

Добавим две дроби.

Пример:

Сложите и вычтите следующие дроби.

2/3, 4/5

Сложение дробей:

Шаг 1: Поставьте знак сложения в обе дроби.

= 2/3 + 4/5

Шаг 2: Умножьте обе дроби на число так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

В этом случае мы умножим первый числитель и знаменатель первой дроби на 3 , а вторую дробь на 5.

= 2×5/3×5 + 4×3/5×3

= 10/15 + 12/15 мы можем сложить числители, взяв общий знаменатель.

Шаг 3: Сложите числители обеих дробей.

= 1/15(10+12)

= 22/15

Используйте наш калькулятор дробей для перепроверки ответов.

Вычитание дроби:

Вычитание дроби аналогично сложению дроби. Следуйте тому же методу, описанному выше. Единственная разница в том, что вам нужно вычитать значения вместо сложения.

Как умножать дроби?

Перемножим две дроби.

Умножение дробей

2/3, 4/5

Шаг 1: Поместите знак умножения между обеими дробями.

= 2/3 × 4/5

Шаг 2: Умножьте оба числителя друг на друга, а также знаменатели.

= 8/15

Вы можете использовать калькулятор умножения дробей в любое время, чтобы умножить две дроби.

Как делить дроби?

Разделим две дроби.

Деление дроби:

2/3, 4/5

Шаг 1: Поместите знак деления между обеими дробями.

= 2/3 ÷ 4/5

Шаг 2: Возьмите обратную вторую дробь, чтобы заменить знак деления на умножение.

= 2/3 × 5/4

= 10/12

9001

5 = 5/6
Использование Разделительная фракция Калькулятор выше, чтобы разделить две дроби. Кроме того, если вы хотите преобразовать дробь в число или десятичную дробь, используйте наш калькулятор дроби в десятичную дробь.
Калькулятор дробей — CalculatorHut.com
Ответить ХХХХ
Ответ в
дробях

Калькулятор дробей

Рассчитать Прозрачный
Дробь до десятичной дроби

Рассчитать Прозрачный
Дробь – это число, представляющее часть целого. Числитель и знаменатель являются основными частями дроби. Числитель представляет собой количество равных частей целого, а знаменатель представляет собой общее количество частей, составляющих указанное целое.
Между числителем и знаменателем тонкая грань. Например, предположим, что пицца разделена на четыре равные части. После того, как съедена первая часть, останется еще 3 части из 4. Таким образом, мы можем представить это как 3/4.
Сложение дробей:
Для сложения дроби нужен общий знаменатель операции.
Сначала перемножьте все знаменатели и убедитесь, что новый знаменатель обязательно кратен каждому отдельному знаменателю.
Теперь умножьте числитель каждой дроби на нужные коэффициенты.
Примечание. Другой способ — найти НОК всех знаменателей и составить общий знаменатель. Теперь умножьте числители на соответствующий множитель, на который умножается его знаменатель, а затем сложите все числители.
Формула сложения дробей
Например:
Вычитание дробей:
Процесс вычитания дробей аналогичен процессу сложения. Нам нужен общий знаменатель, чтобы операция произошла.
Формула вычитания дробей
Например:
Умножение дробей:
Для умножения дробей не нужно вычислять общий знаменатель. Чтобы получить результат, мы должны умножить числители и знаменатели каждой дроби, и в результате получится новый числитель и знаменатель.
Формула умножения дробей
Например:
Разделение дробей:
Тот же процесс, который используется для умножения, используется и для деления.Здесь дробь в числителе умножается на обратную дробь в знаменателе.
Формула деления дробей
Например:
Смешанные фракции:
Смешанная дробь – это целое число с дробной частью.
шагов для преобразования смешанного числа в неправильную дробь:
Умножьте знаменатель на целое число.
Прибавьте ответ из предыдущего шага к числителю смешанной дроби.
Запишите ответ предыдущего шага в числителе, а знаменатель оставьте прежним.
Например, 3½ — это смешанная дробь. Это можно записать как
Преимущество выращивания с братьями и сестрами заключается в том, что вы очень хорошо разбираетесь в дробях. — Роберт Браулт
Как пользоваться калькулятором дробей CalculatorHut?
Вы можете использовать наш калькулятор дробей для сложения, вычитания, умножения и деления дробей. Ответы представлены в виде упрощенных дробей в их наименьших терминах, а также в числовой форме.
Просто введите значения числителя и знаменателя дроби и выберите операцию, которую хотите выполнить. Вы получите результат как в виде дроби, так и в виде числа.
Наш калькулятор дробей прост в использовании. Если вы хотите разместить этот виджет в своем блоге или на веб-сайте, свяжитесь с нами по адресу [email protected]. Мы разработаем привлекательный и красочный виджет на ваш вкус БЕСПЛАТНО!
Сложение, вычитание, деление и умножение дробей
Инструкция по эксплуатации
Введите дроби в приведенный выше калькулятор.
Выберите математическую операцию, которую вы хотите выполнить (сложение, вычитание, умножение, деление), используя серый раскрывающийся список между двумя дробями.
Результаты будут обновляться автоматически всякий раз, когда вы изменяете любое из значений в калькуляторе.
Флажок под калькулятором позволяет выбрать между сокращением дроби до эквивалента наименьшего общего знаменателя (если флажок установлен) или не уменьшением (если флажок не установлен).
Как вручную вычислять дроби
Как складывать дроби
Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой.
Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые умножались знаменатели.
Сложите числители.
Уменьшить результат до максимально упрощенного числа.
Как вычитать дроби
Найдите наименьший общий знаменатель, умножив каждый знаменатель на другой.
Умножьте каждый числитель на те же числа, на которые умножались знаменатели.
Добавьте второй числитель к первому.
Уменьшить результат до максимально упрощенного числа.
Как умножать дроби
Перемножьте числа сверху вместе.
Перемножьте числа внизу вместе.
Уменьшить результат до максимально упрощенного числа.
Как делить дроби
Переверните вторую дробь вверх ногами, чтобы получить обратное число.
Умножьте дроби вместе (точно так же, как в разделе умножения выше).
Уменьшить результат до максимально упрощенного числа.
Фракции: история, актуальность и популярное использование
— Руководство Автор Corin B. Arenas , опубликовано 22 октября 2019 г.
Практически каждый день мы имеем дело с дробями. Подумай об этом. Получаете ли вы монеты за размен, покупаете одежду со скидкой 75 % или готовите на полстакана масла, вы используете дроби.
В этом разделе мы поговорим о происхождении дробей, их важности для передачи информации и о золотом сечении.
Что такое дроби?
Дроби представляют собой части целого числа или любого количества равных частей. Он функционирует чтобы описать, как части соотносятся с целым числом.
Для иллюстрации представьте, что целое число похоже на торт. Если вы разрежете торт на 4 равные части, один кусок будет частью этого торта. В данном случае это 1/4 часть всего торта.
1 представляет одну часть или часть целого числа, которое называется числителем .
4 представляет собой общее количество частей в целом числе, которое называется знаменателем .
Краткая история дробей
Происхождение слова: Термин дробь происходит от латинского слово дробь что означает «сломать». В раннем английском языке это означает «отломанный кусок или фрагмент». Английское слово «перелом» также имеет такое же происхождение слова.
Концепция дробей существует уже более 4000 лет. Но разные цивилизации по-своему стандартизируют дроби для универсального использования.
египтяне
Согласно Математика сквозь века : Нежная история для учителей и других, египтяне были одними из первых, кто изобрел форму дроби еще в 1800 г. до н.э. Их концепция в основном ограничивалась частями, иначе известными как единичные дроби. Единичные дроби используют 1 в качестве числителя.
египетских математика создали систему с основанием 10 идея, которая похожа на системы счисления, которые мы используем сегодня.Цифра иероглифы представляли их числа, а значит, символы соответствовали определенное значение.
Поскольку числитель всегда равен 1, нужно было указать только знаменатель. Египтяне отмечали знаменатель овалом или точкой над значением. Вот несколько примеров из Математика сквозь века :
Части были выражены в виде суммы долей единиц. Однако система не позволяла повторять дробные единицы в этой последовательности, что затрудняло расчеты. Чтобы решить эту проблему, египтяне создали обширные списки таблиц, в которых были указаны двойные значения различных частей.
Вавилоняне
Еще одна цивилизация, создавшая сложную систему для Фракции были вавилонянами, по словам преподавателя математики и автора Лиз Памфри.
Вавилоняне организовали фракции в группы по 60 человек (базовое 60). Сегодня мы обычно объединяем числа в группы по 10. Но для вычислений, таких как углы и минуты для времени, мы также используем основание 60.Система группировала дроби по 10 и использовала два символа, один для единицы, а другой для 10.
Ниже приведены символы, представляющие вавилонскую систему счисления от чисел 1-20:
Однако у них не было символа нуля (который они позже добавили около 311 г. до н.э.) или знака, функционирующего как десятичная точка для обозначения частей целого числа. Это затрудняло интерпретацию чисел.
Например, числа ниже читаются как 12 и 15.
Согласно Памфри, символы также могут быть прочитаны как разные значения:
х60 шт. Шестидесятые Номер
12 15
12 15 720 + 15
12 и 15 отдельными номерами
15/12
12 15/60
720 + 15
Как видите, отсутствие индикатора дроби делает его трудно отделить целые числа от дробей.Вероятно, они полагались на контекст, чтобы разобраться в числовых значениях.
И египетская, и вавилонская системы позже были переданы людям в Греции, а затем и средиземноморской цивилизации.
греки
В Греции практика использования дробных значений в качестве сумм долей единицы была довольно распространена до средневековья. Например, Либер Abbaci итальянского математика Фибоначчи известный текст 13 века. Он широко использовал дроби, описывая различные способы преобразования других дробей в суммы единичных дробей.
Для лучшего понимания ниже приведена таблица греческого языка. цифровые символы. Обратите внимание, что они такие же, как буквы в греческом языке. алфавит:
Значение шт. Десятки Сотни
1 α я р
2 β κ о
3 γ λ т
4 дельта µ υ
5 ε ν ф
6 ϝ ξ х
7 ζ о ψ
8 η π ю
9 θ ϙ ϡ
Греческий запись дробей требует от читателей понимания контекста для правильного интерпретация. Чтобы выделить дробь, они ставят диакритический знак . знак (‘) после знаменателя дроби.
Например, число β (2) становится ½ при записи через диакритический знак, β’ .
Аналогично, µβ (42) становится 1/42 при записи в виде µβ’ .
Однако здесь возникает путаница: µβ’ также может означать 40 ½. Вот почему понимание контекста имеет решающее значение при интерпретации греческих дробей.
Римляне
У римлян дроби выражались только словами, которые затрудняло какие-либо расчеты.
Их система была основана на единице веса, называемой «ас». При таком подходе 1 «ас» равнялся 12 унциям (римская основная единица измерения, положенная в основу современной унции). Таким образом, дроби имеют знаменатели со значениями, делящимися на 12.
В таблице ниже представлены римские дроби. с соответствующими условиями:
Дробь Римский термин
11/12 deunx for de uncia, 1/12 убрано
10/12 декстаны для секстанов, 1/6 отбирается
9/12 додраны для квадрантов, 1/4 убрано
8/12 bes-bi как для двух сторон, 2/3
7/12 Септункс для septem unciae
6/12 полуфабрикаты
5/12 quincunx для quinque unciae
4/12 триенс
3/12 квадранты
2/12 секстаны
1/12 унция
1/24 семунция
1/48 сициликус
1/72 сценарий
1/144 рукопись
1/288 скрупулум
китайский
Китайцы написали Девятку Главы о математическом искусстве , датируемом примерно 100 годом до н. С. Он включает в себя текст о дробях, похожих на те, которые мы используем сегодня.
Согласно Математика сквозь века , он содержал большинство обычных правил вычисления с дробями, например, как складывать, делить и умножать дроби, а также приводить дробь к наименьшему значению.
Однако их система избегала использования неправильных дробей. Например, вместо неправильной дроби 9/4 они использовали эквивалентную ей смешанную дробь 2 1/4.
В отличие от западной математики, китайцы сосредоточились на практических приложениях, а не на теоретических рассуждениях и геометрии.
индейцы
Индийцы разработали способ записи дробей, ближе к тому, что мы используем сегодня.
Согласно ресурсному сайту The Story of Mathematics, до 1000 г. до н.э. индуистские мантры в ранний ведический период вызывали силы от десяти до сотен и даже до триллиона. Это свидетельствует о том, что ранняя индийская цивилизация использовала сложные математические операции, включая дроби, квадраты, кубы и корни.
Около 500 г. до н.э. они придумали систему письма под названием брахми, которая состояла из 9 числовых символов и нуля. Учитель математики и писатель Лиз Памфри отмечает, что эти числа во многом повлияли на современные числа, которыми мы пользуемся сегодня. См. изображение ниже.
Индийская система записывала дроби, помещая одно значение поверх другого, точно так же, как сегодня числитель пишется над знаменателем. Тем не менее, они не провели черту между ними. Например, дробь 4/5 будет выглядеть так:
.
Позже эту систему использовали арабы при торговле с индийцами.Именно арабы провели черту, чтобы отличить верхнее число от младшего в дроби. Это в конечном итоге привело к тому, как мы пишем дроби в современную эпоху.
Как дроби улучшают способ передачи информации
По словам доктора Петерсона из MathForum.org: «Дроби были изобретены, чтобы дать возможность работать с величинами меньше единицы».
Если бы люди использовали только целые числа, единственный способ обратиться к меньшее количество заключается в использовании меньших единиц. Так поступали римляне — они использовали целые числа для измерения футов и использовали дюймы, когда им нужно было учитывать более мелкие единицы.
Например, вместо 1/12 фута длина будет равна 1 дюйму, а 1/4 фута — 3 дюймам. Но что, если вы имеете в виду 2 с половиной фута? Как насчет 1 и 3/4 футов?
Если вы основываете стандартную длину на футах, это сбивает с толку постоянное обращение к футам и дюймам одновременно. В принципе, дроби позволяют проводить измерения, не обязательно создавая новые юниты.Было бы лучше учитывать измерения в последовательная мода.
В США чаще используют дроби (английское измерение), поскольку они используют чашки, а не весы для измерения при приготовлении пищи и выпечке.
американцам еще предстоит перейти на метрическую систему, которая десятичная система, в которой используются единицы, связанные с коэффициентами 10. метрическая система обычно использует граммы и литры вместо американской системы измерения для унций, чашек, пинт и так далее.
В таблице ниже представлен перевод объема из английской единицы измерения в его эквивалент в метрической системе:
Преобразование объема США в метрические единицы
4 жидких унций 900 PINT 1 ½ PINTS4
США обычая Количество (на английском языке) метрический эквивалент
1 чайную ложку 5 мл
1 столовую ложку 15 мл
2 столовые ложки 30 мл
1/4 Кубок или 2 жидкости унции 60 мл 60594 1/3 чашки 80 мл 80 мл
1/2 чашки или 125 мл
2 / 3 чашка 160 мл 160 мл
3/4 Cup или 6 жидкостных унций 180 мл 180 мл
1 чашка или 8 жидких унций или 1/2 PINT 250 мл
1 ½ чашки или 12 жидких унций 375 мл
2 стакана UPS или 1 PINT или 16 жидкостных унций 500 мл 500 мл
700 мл 700 мл
4 чашки или 2 PINTS или 1 квартал 950 мл
4 кварты или 1 галлон 3. 8 l
1 унция 28 грамм
1/4 фунт (4 унции) 112 грамм
1/2 фунта (8 унций) 225 грамм
3/4 фунта (12 унций) 337 граммов
1 фунт (16 унций) 450 граммов
легко разделить дроби.Это устраняет проблему преобразования, которая невозможна, если измерение производится между двумя разными единицами измерения.
Для более простого расчета дробей просто используйте калькулятор в верхней части этой страницы.
В то время как десятичные дроби обеспечивают альтернативный способ указания дроби (и более простой способ расчета дробей с помощью калькулятора), это необходимо понимать традиционные дроби и то, как их значения влияют на целое число.
По данным Thoughtco.com, учащиеся, не усвоившие дроби в первые годы жизни, склонны запутаться и испытать математическую тревогу.Они также упомянули половину американской восьмерки оценщики не могут расположить дроби в порядке их значения.
Интуитивное изучение дробей помогает детям лучше понять теоретические математические концепции, позволяя им использовать их в реальной жизни. Это намного лучше, чем запоминать таблицы с единицами измерения или символами.
Золотое сечение и последовательность Фибоначчи
В математике отношение — это, по сути, сравнение двух числа, которые зависят от вида сравниваемых чисел.
Вы можете встретить пример, написанный так: 1:3 или 1 из 3. Например, бутылка концентрата апельсинового сока состоит из 1 части апельсинового сока и 3 части воды. Это также может быть записано в виде дроби, 1/3.
Соотношения связаны с дробями, потому что они сравнивают разные значения, которые могут представлять собой целое. В этом примере вся часть — это бутылка. апельсинового сока.
Золотое сечение это специальное число, представленное греческим символом фи ( φ ) с приблизительным значением 1.618.
Получается путем деления линии на 2 части так, чтобы длинная часть (а) деленная на короткий участок (б) равна всей длине, деленной на длинный раздел.
Чтобы дать вам лучшее представление, вот иллюстрация со стандартным уравнением:
Исторически сложилось так, что соотношение соблюдалось в древности. сооружения, такие как Парфенон и пирамиды Египта. В Великой пирамиде Гизы отношение основания к высоте примерно равно 1.5717, т. близко к золотому сечению. Он также встречается в повторяющихся закономерностях в природе, таких как как лепестки цветов, ракушки, ветки деревьев и спиральные галактики.
С другой стороны, Фибоначчи последовательность — еще одна известная формула в математике. Последовательность получена из сумма двух предшествующих ему чисел. Многие источники говорят, что Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанский) популяризировал его в своей книге Liber Abacci .
Но согласно Live Science, математик Кит Девлин, автор книги « В поисках Фибоначчи: поиски Откройте для себя заново забытого математического гения, изменившего мир , говорится что Леонардо Фибоначчи на самом деле не «открыл» эту последовательность.
Древние санскритские писания, в которых использовалось индийско-арабское числительное. системы были первыми, кто обсудил ее за столетия до Леонардо Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи выглядит так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811 и так далее…
Когда математики строят квадраты на основе этой последовательности, они могут нарисовать спираль.
Как золотое сечение связано с последовательностью Фибоначчи?
Исследователи заметили, что когда вы берете любые два последовательных числа Фибоначчи, их отношение очень близко к золотому сечению.Таким образом, φ примерно равно 1,618. Чтобы дать вам представление, посмотрите таблицу ниже.
В В / А
2 3 1,5
3 5 1,666666666 . ..
5 8 1.6
8 13 1,625
Итог
Концепция дробей была разработана разными древними цивилизациями.Одними из первых, кто разработал дробную систему с обширными таблицами, были египтяне. Другие древние общества, такие как вавилоняне, греки, римляне и китайцы, также внесли свой вклад в его улучшение. Но на современные цифры и то, как мы пишем дроби, больше всего повлияли индийцы, которые ввели индийско-арабскую систему счисления.
Использование дробей помогает нам легко передавать информацию об измерениях. Это удерживает людей от использования разных единиц измерения, облегчая их вычисление.
Наконец, дроби связаны со знаменитой золотой пропорцией и последовательностью Фибоначчи, которые в значительной степени повлияли на то, как мы проектируем всевозможные структуры.
Об авторе
Корин — страстный исследователь и писатель на финансовые темы, изучает экономические тенденции, их влияние на население, а также то, как помочь потребителям принимать более разумные финансовые решения.

Значение	шт.	Десятки	Сотни
1	α	я	р
2	β	κ	о
3	γ	λ	т
4	дельта	µ	υ
5	ε	ν	ф
6	ϝ	ξ	х
7	ζ	о	ψ
8	η	π	ю
9	θ	ϙ	ϡ

Дробь	Римский термин
11/12	deunx for de uncia, 1/12 убрано
10/12	декстаны для секстанов, 1/6 отбирается
9/12	додраны для квадрантов, 1/4 убрано
8/12	bes-bi как для двух сторон, 2/3
7/12	Септункс для septem unciae
6/12	полуфабрикаты
5/12	quincunx для quinque unciae
4/12	триенс
3/12	квадранты
2/12	секстаны
1/12	унция
1/24	семунция
1/48	сициликус
1/72	сценарий
1/144	рукопись
1/288	скрупулум

США обычая Количество (на английском языке)	метрический эквивалент
1 чайную ложку	5 мл
1 столовую ложку	15 мл
2 столовые ложки	30 мл
1/4 Кубок или 2 жидкости унции	60 мл	60594	1/3 чашки	80 мл	80 мл
1/2 чашки или	125 мл
2 / 3 чашка	160 мл	160 мл
3/4 Cup или 6 жидкостных унций	180 мл	180 мл
1 чашка или 8 жидких унций или 1/2 PINT	250 мл
1 ½ чашки или 12 жидких унций	375 мл
2 стакана UPS или 1 PINT или 16 жидкостных унций	500 мл	500 мл
700 мл	700 мл
4 чашки или 2 PINTS или 1 квартал	950 мл
4 кварты или 1 галлон	3. 8 l
1 унция	28 грамм
1/4 фунт (4 унции)	112 грамм
1/2 фунта (8 унций)	225 грамм
3/4 фунта (12 унций)	337 граммов
1 фунт (16 унций)	450 граммов