Квадратные уравнения решение скачать: Квадратные уравнения + решение v.1.2 скачать для андройд

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b

2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Формула корней квадратного уравнения Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Решение простого квадратного уравнения

Второе уравнение:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x

2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Разложение уравнения на множители Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x

1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Смотрите также:

  1. Теорема Виета Разложение уравнения на множители
  2. Следствия из теоремы Виета Разложение уравнения на множители
  3. Тест на тему «Значащая часть числа» Разложение уравнения на множители
  4. Правила комбинаторики в задаче B6 Разложение уравнения на множители
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной Разложение уравнения на множители
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией Разложение уравнения на множители

Решение квадратных уравнений cкачать на Windows бесплатно

Характеристики

Лицензия: Бесплатно

Совместимость:

Описание

Программа для решения квадратных уравнений в «автоматическом» режиме, вам необходимо ввести значения переменных: a,b,с Переменные можно записывать как положительные так и отрицательные пример: a = -3 b = -100 c = +20

Скриншоты

Если у вас есть информация о доступных версиях программы, вы можете отправить ее нам.

Добавить программу

Укажите полное название программы и описание ее назначения

Спасибо за помощь!

Ваше сообщение было отправлено

Тренажёр по алгебре (8 класс) на тему: Неполные квадратные уравнения

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

  1. 3×2-12=0
  2. 2х2+6х=0
  3. 1,8х2=0
  4. х2+25=0
  5. х2-=0
  6. х2=3х
  7. х2+2х-3=2х+6
  8. х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

  1. 3×2-1=0
  2. 2х2-6х=0
  3. 8х2=0
  4. х2+81=0
  5. х2-=0
  6. х2=5х
  7. х2+х-3=х+6
  8. х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

  1. 3×2-12=0
  2. 2х2+6х=0
  3. 1,8х2=0
  4. х2+25=0
  5. х2-=0
  6. х2=3х
  7. х2+2х-3=2х+6
  8. х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

  1. 3×2-1=0
  2. 2х2-6х=0
  3. 8х2=0
  4. х2+81=0
  5. х2-=0
  6. х2=5х
  7. х2+х-3=х+6
  8. х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

1

2

3

4

1

2;-2

1

3,-3

1

√1/3;-√1/3

1

4,-4

2

0;-3

2

0;4

2

0;3

2

0;5

3

0

3

0

3

0

3

0

4

Нет корней

4

Нет корней

4

Нет корней

4

Нет корней

5

√6;-√6

5

√5;-√5

5

√3;-√3

5

√5;-√5

6

0;3

6

0;7

6

0;5

6

0;1

7

√3;-√3

7

4;-4

7

3;-3

7

4;-4

8

0,6;-0,6

8

0,5;-0,5

8

0,9;-0,9

8

0,7;-0,7

Проект » Квадратные уравнения»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

Учебный проект

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Автор: ученик 8»а» класса

Комарков Дмитрий

Руководитель:

учитель математики

высшей категории

Смирнова

Надежда Александровна

2012 год

Оглавление.

Введение

Глава 1. Изучение литературы

Глава 2. Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и приемах их решения

Глава 3. Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Глава 4. Материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Глава 5. Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами.

Глава 6. Выводы

Список литературы

Введение.

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Цель: создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос: как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Гипотеза: Предполагаем, что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

Задачи:

  1. Обобщить и систематизировать имеющийся материал о квадратных уравнениях и способах их решения

  2. Установить связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения и найти нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений

  3. Изучить дополнительные литературу и источники информации

  4. Систематизировать нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений

  5. Разработать дидактический материал и провести его апробацию на факультативе в 8 классе

  1. Ход работы над проектом:

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: приемы решения квадратных уравнений

Глава 1

Изучение литературы

Основной материал, связанный с изучением темы «Решение квадратных уравнений» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Алгебра-8 класс разобраны основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2.Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений, о нестандартных приемах их решения, в школьных учебниках отсутствуют. Поэтому в ходе работы над проектом изучалась дополнительная научная литература и другие источники информации.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений нестандартными приемами и перейти к следующему этапу в исследовании- научиться применять полученные знания на практике.

Глава 2.

Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

  1. Немного истории.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

hello_html_4c354572.png

В III в. н. э. квадратное уравнение
х220х + 96 = 0
без обращения к геометрии
решил великий древнегреческий математик Диофант (3век).

hello_html_75c8b0a.png

В 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

  1. Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

А) Общий вид квадратного уравнения

hello_html_365cd92b.png

Б) Известные способы решения

квадратных уравнений

полные

hello_html_m787b9d6.gif

Известные способы решения

квадратных уравнений

полные (особые случаи)

hello_html_m334d7052.gif

hello_html_m69a8bd56.gif

полные приведённые квадратные уравнения

Теорема, обратная теореме Виета

hello_html_13e82008.gif

Неполные квадратные уравнения

hello_html_2cff52e0.gif

hello_html_m71eadfad.gif

— Нет корней, если –с/a <0

hello_html_m473b90d3.gif

+ √-с/a ,если –c|a>0

Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки

Корни квадратного уравнения ах2 + bx + с = 0 (а ≠ 0)

можно рассматривать как абсциссы точек пересечения

окружности с центром Q (- в/2a ; (a+c)/2a ), проходящей через точку

A(О; 1), и оси Ох .

1) если QA > (a+c)/2a , то
окружность пересекает ось Ох в двух точках
М(х1; 0) и N(х2; 0) , уравнение имеет
корни х1 ; х2

hello_html_m1e03114b.png

2) если QA = (a+c)/2a , то

окружность касается оси Ох в точке М(х1; 0),
уравнение имеет корень х1.

hello_html_5721b888.png

3) если QA<(a+c)/2a , то окружность не имеет общих точек с осью Ох,
и уравнение
не имеет корней.

hello_html_65c2d49a.png

Проведя анализ, я заметил, что значения корней квадратного уравнения зависят от его коэффициентов. Следовательно, искать нестандартные приемы решения квадратных уравнений необходимо учитывая эти связи.

Глава 3

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

метод коэффициентов

hello_html_m845eeb8.gif

hello_html_2c227e34.gif

hello_html_m5e6c5ae.gif

hello_html_m12fe4440.gif

hello_html_m7a498645.gif

hello_html_2e55dbfe.gif

Прием « переброски» старшего коэффициента

hello_html_779c07a3.gif

Глава 4

Материал для проведения проверочной работы по решению квадратных уравнений с помощью нестандартных приемов

Найденные нестандартные приемы было решение апробировать на факультативном занятии в 8 классе.

Цель данной работы: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Данная работа проведена в 2 этапа:

  1. Изучение теории

  2. Практическая работа

Были подобраны задачи для проведения работы.

  1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

А) 4х2 – 13х + 9 =0

(1; 2,25)

Б) 1978х2 – 1984х + 6=0

(1; 6/1978)

В) 4х2 + 11х + 7 = 0

(-1; -7/4)

Г) 319х2 + 1988х +1669=0

(-1; -1669/319)

Д) 1999х2 + 2000х+1=0

(-1; -1/1999)

  1. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

А) 313х2 +326х+13=0

(-1; -13/313)

Б) 839х2— 448х -391=0

(1; -391/839)

В) 345х2 – 137х – 208=0

(1;.-208/345)

Г) 939х2+978х+39=0

(-1; -39/939)

  1. Используя полученные знания, установи соответствие:

1. х2+5х+6=0 1. 1/6;1/2

2. 6х2-5х+1=0 2. 1; 3/2

3. 2х2-5х+3=0 3. 1; 2/3

4. 3х2-5х+2=0 4. -2; -3

5. х2-5х+6=0 5. -1/3 ; -1/2

6. 6х2+5х+1=0 6. -1; -3/2

7. 2х2+5х+2=0 7. -1; -2/3

8. 3х2+5х+2=0 8. 2; 3

Глава 5

Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

  1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;

  2. Наиболее возможное количество набранных баллов-17

  3. Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Результаты практикума.

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 — 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 – 0 человек

hello_html_1ac225f7.gif

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Глава 6

Выводы

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Литература

1.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике: — М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970

2 А М.Л.Галицкий,.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение. 2001

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996

5. Штейнгауз В.Г.:Математический калейдоскоп.- М.: Бюро «Квантум»,2005

6.Знциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика,1985

Защита проекта «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»

В этом учебном году на уроках алгебры мы изучили тему «Квадратные уравнения и способы их решения».

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Недавно ко мне обратился мой знакомый -ученик 11 класса, который забыл общие формулы решения квадратного уравнения. Я сначала удивился, но потом задумался над тем, как помочь таким ребятам найти другие, ранее не изученные приемы решения квадратных уравнений, без применения основных формул решения квадратного уравнения.

Так появился учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»(Слайд1)_

Эпиграфом к проекту могут служить слова Сойера:(2слайд)

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

У. Сойер.

Цель проекта;(3 слайд)

создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос (3 Слайд)

как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Я преположил(3слайд — гипотеза)

что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

План исследования (4слайд)

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Немного истории вопроса(5 слайд)

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Однако, почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

В результате обобщения знаний о способах решения квадратных уравнений, анализа дополнительной литературы и других источников информации, найдены нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

(слайд6)Метод коэффициентов

Рассказать

(слайд7) метод переброски

Рассказать

Для проверки эффективности использования этих приемов я разработал дидактический материал и предложил провести занятие факультатива в 8 классе поданной теме. Цель занятия: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Проведен анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами (слайд 8)

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

Всего предложено 17 заданий.

  1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл; наибольшее количество набранных баллов-17

  2. Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Результаты практикума.

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 — 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 – 0 человек

hello_html_1ac225f7.gif

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений: заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Слайд 9

Выводы

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а так же, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Слайд 10 Спасибо за внимание

история

первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Глава 2

Классификация задач на проценты

В ходе проведения исследовательской работы в УМК под ред. Г.В.Дорофеева была проведена классификация всех задач по их основным типам.

hello_html_1786c267.gif

Глава 3

Описание средств, методов

организации деятельности

В работе использовался общественный опрос и проведена обработка собранных данных по следующим вопросам:

1. Количественный состав

2. Внешний вид

3. Темперамент

4. Данные гороскопа

5 .Увлечения

6. Распределение времени суток

7. Успеваемость

hello_html_7bf76dbe.gif

hello_html_7794519a.gif

hello_html_m43dc4929.gif

hello_html_31a4838e.gif

hello_html_m49ebf4c0.gif

hello_html_37511e68.gif

hello_html_1a69d2c5.gif

hello_html_m3fdcfe97.gif

hello_html_m34a84ec3.gif

hello_html_4b56baa2.gif

hello_html_m716c5a3d.gif

Заключение

Проводя исследование мы решили много практических задач на проценты, применяя умения решать опорные задачи .

Это помогло нам не только дать полное и яркое представление о нашем классе, но и закрепить умение решать задачи на проценты.

Данный проект был апробирован на общем собрании учащихся и родителей. Материалы проекта будут использованы при подготовке других внеклассных дел в классе и в школе, а в дальнейшем планируется разработать подобный проект для использования их при подготовке выпускных вечеров класса.

Глава 2

Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Список литературы

  1. Г.В. Дорофеев «Математика-6» Издательство Просвещение, 2008г

  2. А.В. Шевкин «Обучение решению текстовых задач», Русское слово, 2001

  3. «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика»,М.,2007

  4. «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006

Глава 2

Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

hello_html_136fa928.gif

hello_html_3e6a77c9.gif

Глава 3

Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

hello_html_7ba6465a.gif

hello_html_m23f5abf8.gif

hello_html_m43442467.gif

hello_html_478e92e6.gif

Глава 4

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

hello_html_m1e44bb7d.gif

hello_html_3daf1a1d.gif

hello_html_2f2c8c06.gif

hello_html_4d756f54.gif

hello_html_m26b6d9a4.gif

hello_html_m301179f9.gif

Глава5

Выводы

В ходе исследования я изучил литературу, решил множество различных квадратных уравнений и пришел к выводу, что существует связь между коэффициентами квадратного уравнения и приемами его решения. Учитывая этот факт были найдены и отработаны нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Данные приемы решения заслуживают внимания, так как они не отражены в школьных учебниках.

Овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения.

Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы экзаменов.

Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

  1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

2 – 13х + 9 =0

(1; 2,25)

1978х2 – 1984х + 6=0

(1; 6/1978)

2 + 11х + 7 = 0

(-1; -7/4)

319х2 + 1988х +1669=0

(-1; -1669/319)

1999х2 + 2000х+1=0

(-1; -1/1999)

  1. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

313х2 +326х+13=0

(-1; -13/313)

839х2— 448х -391=0

(1; -391/839)

345х2 – 137х – 208=0

(1;.-208/345)

939х2+978х+39=0

(-1; -39/939)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

1. х2+5х+6=0 1. 1/6;1/2

2. 6х2-5х+1=0 2. 1; 3/2

3. 2х2-5х+3=0 3. 1; 2/3

4. 3х2-5х+2=0 4. -2; -3

5. х2-5х+6=0 5. -1/3 ; -1/2

6. 6х2+5х+1=0 6. -1; -3/2

7. 2х2+5х+2=0 7. -1; -2/3

8. 3х2+5х+2=0 8. 2;3

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

1)

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

2)

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

3) .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и  – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит,   или .

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Рассмотрим уравнение
.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Разложение квадратного трехчлена на множители

.

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Его корни
,
.

.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

 

Смотри также: Квадратичная функция

Проект для НПК учащихся 8 класса «10 способов решения квадратных уравнений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Копьёвская средняя общеобразовательная школа

с углублённым изучением отдельных предметов»

Секция математики

10 способов решения квадратных уравнений

Авторы:

Тайдонова Анастасия Михайловна,

Тайдонова Виктория Михайловна,

учащиеся 8А класса

Руководитель:

Загородних Ольга Иосифовна,

учитель математики

п. Копьёво, 2016 г.

Содержание

Введение………………………………………………………….…..……………..3

1. Из истории решения квадратных уравнений…………………………………..4

2. Решение квадратных уравнений с помощью разложения на множители……6

3. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена..6

4. Решение квадратных уравнений по формуле ……………………………………..7

5. Теорема Виета………………………………………. …………………………..7

6. Решение квадратных уравнений способом «переброски»…………………….8

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………………….9

8. Закономерность коэффициентов………………………………………………..10

9. Графический способ решения квадратных уравнений………………………..11

10. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки…………..12

11. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………….13

Заключение………………………………………………………………………….14

Список литературы…………………………………………………………………15

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

Цель работы: изучение нестандартных способов решения квадратных уравнений.

Задачи работы: изучить сведения из истории решения квадратных уравнений, изложить 10 способов решения квадратных уравнений (стандартные и нестандартные)

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: для некоторых квадратных уравнений применение нестандартных способов решения позволяет устно найти корни этого уравнения.

1. Из истории решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.


Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, в их клинописных текстах встречаются кроме неполных и полные квадратные уравнения.
Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.


При составлении квадратных уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача. «Найти 2 числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведения равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+x, другое же меньше, т.е. 10-x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение
(10+x)(10-x)=96, или же
100 — x2=96,
x2 — 4=0.
Отсюда x=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии.


Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный, Брахмагубта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единой канонической форме: ax2+bx=c , a>0.
Одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?»
Соответствующее задаче уравнение ()2 + 12= x Бхаскара пишет под видом

x2 — 64x= -768, прибавляет к обеим частям 322 , получая затем:
x2 — 64x+322= -768+1024,
(x — 32)2 = 256,
x — 32= ±16,
x1=16, x2=48.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми.


При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Приведём пример.
Задача. Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень. (подразумевается корень уравнения x2+21= 10x) .

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XIIXVII вв.


Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанные в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду
x2+bx=c,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.


2. Решение квадратных уравнений с помощью разложения на множители

Квадратные уравнения общего вида надо привести к виду: A(x)∙B(x)=0, где A(x) и B(x) — многочлены относительно x.

Пример. Решить уравнение 4х2+5х+1=0. Слагаемое 5х представим в виде суммы двух слагаемых 4х и х, получим 4х2+4х+х+1=0. Применим способ группировки, уравнение примет вид 4х(х+1)+(х+1)=0. Левую часть уравнения раскладываем на множители (х+1)(4х+1)=0. Следовательно,
х+1=0 или 4х+1=0;
х1= -1; х2= — 0,25.
Ответ: х1= -1, х2= — 0,25


3.Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Решить уравнение 7х2– 6х– 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х2х – = 0.

Выделим из трехчлена х2х – квадрат двучлена. Для этого разность

х2х представим в виде х2– 2·х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

х2– 2·х +––= 0.

Отсюда х2– 2·х += + ,

= .

Следовательно, х – = – или х – = ,

х – = – или х – =

х1 = – или х2 = 1.

Ответ: – и 1.

4. Решение квадратных уравнений по формуле


Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Универсальный способ решения квадратных уравнений – применение формулы корней.

ax2 + bx + c = 0

D =b– 4ас – дискриминант квадратного уравнения.

  1. Если D>0, то уравнение имеет два корня:

х= и х= .

2) Если D= 0, то уравнение имеет один корень:

х = –.

3) Если D<0, то уравнение не имеет корней.

Если второй коэффициент – чётное число, т.е. b=2k, то D1=k2 ac, и корни уравнения ax2 + 2k x + c = 0, то корни уравнения находятся по формуле
х=
и х=


5. Теорема Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и его корнями, носящая имя знаменитого французского математика Франсуа Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.

Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид: х2 +bx + c = 0. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q: х2 + px + q = 0.

Если х1 и х2 — корни уравнения х2 + px + q = 0, то х1 + х2 = p и х1х2 = q (D0).

Для приведённого квадратного уравнения справедлива теорема, обратная теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения
х2 + px + q = 0. Если m+n= p и mn=q , то х1 = m и х2 = n.

Теорема Виета и обратная ей теорема позволяют:

1) проверить правильность найденных корней уравнения x² + px + q = 0;

2) судить о знаках и абсолютной величине корней уравнения x² + px + q = 0:

если p>0, q>0, то оба корня отрицательны;

если p<0, q >0, то оба корня положительны;

если p>0, q<0, то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если p<0, q<0, то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного;

3) устно находить целые корни уравнения x² + px + q = 0;

4) составлять квадратные уравнения с заданными корнями.


Пример 1. Рассмотрим уравнение х2+3х–40=0, D=32+4∙40=169>0, уравнение имеет два корня.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

х=; х=.

Отсюда х= –8; х= 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2+3х–40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен–40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 +3х – 40=0.

Пример 2. Решить уравнение х2 + 3х – 10 = 0, D=32 +4∙10=49>0, уравнение имеет два корня.

х1·х2 = – 10, значит корни имеют разные знаки,

х1 + х2 = – 3, значит больший по модулю корень — отрицательное число.

Подбором находим корни: х1 = – 5, х2 = 2.


6. Решение квадратных уравнений способом «переброски»


При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета и, что самое важное, когда дискриминант является точным квадратом числа.

Решим уравнение 2х2– 11х+5=0 , перебросим коэффициент 2 к свободному члену. Получим новое уравнение y2–11y+10= 0.

D>0, по теореме, обратной теореме Виета, подбором находим корни

y= 10; y2=1.

Корни уравнения необходимо поделить на 2, получаем корни исходного уравнения: х1 = 5; х2 = 0,5

Ответ: х1 = 5; х2 = 0,5.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

1) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй равен .

Доказательство.

Выразим b из равенства a + b + c = 0, b = ac.

Подставим это выражение в формулу корней:

х1,2=hello_html_m13dc9dc3.gif

=hello_html_m76d99edf.gif.

Получим корни: х1=hello_html_148d579f.gif, х2=hello_html_64507e86.gif.

2) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту a+c=b, то один из корней равен -1, а второй равен — .

Доказательство.
Выразим b из равенства a b + c = 0, b = a + c, подставим в формулу корней:

x1,2=hello_html_3ca362ab.gif

=hello_html_mb53d29.gif.

Получаем корни: х1=hello_html_63e53e29.gif, х2=hello_html_m894d70b.gif.

Пример 1. Решить уравнение 137х2 +20х -157= 0.

a=137, b=20, c= -157.

a+b+c=137+20-157=0

х1 =1, х2 = =.
Ответ: 1; .
Пример 2. Решить уравнение 127х2 +272х + 145 =0.
a=127, b=272, c=145.
a+c=127+145=272

х1= -1, х2 = — = — .
Ответ: х1= -1, х2 = — = — .

8. Закономерность коэффициентов

ax2 + bx + c = 0

1) Если а2 +1= b и с = а, то корни квадратного уравнения равны

х= а; х= –.

ax2 + (а2 +1)∙х+ а= 0

Пример. Решить уравнение: 6х2 +37х +6 = 0,

a =6, b=37, c=6,

а2 +1=36+1=37, a=c=6, значит,

х= –6; х= –.

2) Если а2 +1 = —b и с = а, то корни квадратного уравнения равны

х= а; х= .

ax2– (а2 +1)∙х + а= 0

Пример. Решить уравнение: 15х2 –226х +15 = 0,

a =15, b=-226, c=15,

а2+1= 225+1=226= —b, a=c=15, значит,

х= 15; х= –.

3) Если а2–1= b и а= — c, то корни квадратного уравнения равны

х= а; х= .

ax2 + (а2–1)∙ х а= 0

Пример. Решить уравнение: 17х2 +288х –17 = 0,

a =17, b=288, c=-17,

а2–1= 2891=288=b, а= 17= c, значит,

х= –17; х=.

4) Если а2–1= b и а = -с, то корни квадратного уравнения равны

х= а; х=–.

аx 2+ (а2–1)∙х а= 0

Пример. Решить уравнение: 10х2–99х –10 = 0.

a =10, b=-99, c=-10,

а2–1=1001 = 99 = b, а=10= -с, значит,

х= 10; х= –.

9. Графический способ решения квадратных уравнений

Для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 графическим способом необходимо построить два графика: y = ax2 и y = bxc.

Абсциссы точек пересечения графиков и будут корнями уравнения.
1)Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.
2) Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.
3)Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

Решим уравнение x2x –1=0 графическим способом. Для этого построим два графика: y=x2 и y=x+1.

hello_html_m6e3505eb.gif


Ответ: x10,6; х2 2,6.

10. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (а ≠ 0) можно рассматривать

как абсциссы точек пересечения оси Ох и окружности с центром Q (- ; ),

проходящей через точку A(0; 1).

hello_html_m7fbbfcf5.pnghello_html_m478d27ee.png

hello_html_74da5848.png

11. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz+q=0.

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z2 + pz+q=0.

Если это уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из –p. В случае, когда оба корня отрицательные, берут z=t и находят по номограмме два положительных корня t1 и t2 уравнения t2pt+q=0, а затем z1= t1, z2= t2. Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z=kt и решают посредством номограммы уравнения t2 + t+ =0, где k берётся с таким расчётом, чтобы имели место неравенства:

12,6≤ ≤+ 12,6; 12,6≤+12,6.

hello_html_5243965f.png

Для уравнения z2 — 9z+8=0 номограмма даёт корни: z1=8 и z2=1.

Заключение

Практически всё, что окружает человека- это всё так или иначе связанно с математикой. Поэтому решение многих практически задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Представленные нами приёмы решения квадратных уравнений заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики.

Овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения.

Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы выпускных экзаменов.

Список литературы

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе, VII-VIII классы – М.: Просвещение, 1982.

2. Макарычев, Ю.Н., Миндюк, Н.Г., Нешков, К.И., Феоктистов, И.Е. Алгебра, 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждения / под редакцией Н.Ю. Макарычева, Н.Г. Миндюк и др. М.: Мнемозина, 2008.

3.Никольская, И.Л. Факультативный курс по математике: учебное пособие для учащихся 7-9 классов средней школы / составитель И.Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991.

Решение квадратных уравнений

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

За этот урок мы решим 33 квадратных уравнения!

Всех видов, всеми способами.

Ты точно разберешься с этой темой!

И самое главное..

Зачем нужно уметь хорошо и быстро решать квадратные уравнения?

Решение многих других уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений!

Будет обидно на экзамене решить какое-нибудь сложное уравнение и запнуться на квадратном. 

Потому, давай начнем! 

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ


СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

 

Что такое квадратное уравнение?

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». 

Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате.

И при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Если говорить научным, математическим языком, то…

Квадратное уравнение, это уравнение вида

  ,

где   – неизвестное,

 ,  ,   – некоторые числа, причем  . 

  и   называют коэффициентами квадратного уравнения,

а   – свободным членом.

 

Сначала научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое

Пример 1

 

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на  

 

 

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

 

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2

 

Домножим левую и правую часть на  :

 

 

Это уравнение, хотя в нем изначально был  , не является квадратным!

Пример 3

 

Домножим все на  :

 

 

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену  , то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

 

Пример 4

 

Вроде бы есть  , но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

 

 

 

Видишь,   сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Проверь ответы

  1. квадратное;
  2. квадратное;
  3. не квадратное;
  4. не квадратное;
  5. не квадратное;
  6. квадратное;
  7. не квадратное;
  8. квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на   вида:

Два вида квадратных уравний — полные и неполные

Полные квадратные уравнения

Полные квадратные уравнения — это уравнения, в которых коэффициенты   и  , а также свободный член с не равны нулю (как в примере  ). 

Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент   (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения – это уравнения, в которых коэффициент   и или свободный член с равны нулю:


 
 
 

Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента.

Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно.

Такое деление обусловлено методами решения.

Рассмотрим каждый из них подробнее.

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Решение неполных квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения бывают   типов:

  1.  , в этом уравнении коэффициент   равен  .
  2.  , в этом уравнении свободный член   равен  .
  3.  , в этом уравнении коэффициент   и свободный член   равны  .

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1.   и  .

Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

  .

Выражение   может быть как отрицательным, так и положительным.

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число.

Так что: если  , то уравнение не имеет решений.

А если  , то получаем два корня  . Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что   не может быть меньше  .

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5

Решите уравнение  

Выразим  

 

 

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

 

 

Ответ:  

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6

Решите уравнение  

 

 

 

 

Ответ:  

Пример 7

Решите уравнение  

 

 

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

  нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок –   (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:  

2.  .

Вынесем общим множитель   за скобки:

 .

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

 .

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

Пример 8

Решите уравнение  

Вынесем общий множитель   за скобки:

 

Таким образом,

 

У этого уравнения два корня.

Ответ:  

3.  .

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

 .

Здесь обойдемся без примеров.

 

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:

   где  

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!

Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если  , то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.

Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм Пример: 

Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду:  

 

 Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно.

Главное правильно определить коэффициенты   и   и свободный член  .

 ,

здесь   

Шаг 2. Вычислить дискриминант.

Вот его формула:   

  

Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:

 

  
  • Если  , то формула на шаге   сократится до  . Таким образом, уравнение будет иметь всего   корень.
  • Если  , то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге  . Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней?

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.

График функции   является параболой:

решение квадратных уравнений 1 (3)

В частном случае, которым является квадратное уравнение,  .

А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось  ).

Парабола может вообще не пересекать ось  , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси  ) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент  . Если  , то ветви параболы направлены вверх, а если   – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

 

Ответ:  

Пример 10

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

 

 , а значит уравнение имеет один корень.

 

Ответ:  

Пример 11

Решите уравнение  

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Квадратные уравнения

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения образуют красивые кривые, такие как эта:

Имя

Название Quadratic происходит от «quad», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x 2 ).

Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:


  • a , b и c — известные значения. a не может быть 0.
  • « x » — это переменная или неизвестно (мы ее еще не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0 В этом a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0 Это немного сложнее:
  • Где и ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 »
  • б = −3
  • А где c ? Well c = 0 , поэтому не показан.
5x — 3 = 0 Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2
(другими словами a = 0 , что означает, что он не может быть квадратичным)

Поиграйте с ним

Поиграйте с «Проводником квадратного уравнения», чтобы увидеть:

  • график, который он составляет, и
  • решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения — это

Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!

Например:

Скрытый в стандартной форме a, b и c
x 2 = 3x — 1 Переместить все термины в левую часть x 2 — 3x + 1 = 0 а = 1, b = −3, c = 1
2 (w 2 — 2w) = 5 Развернуть (снять скобки),
и переместите 5 влево
2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0 a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3 Разверните и переместите 3 влево z 2 — z — 3 = 0 а = 1, b = -1, с = -3

Как их решить?

В « решениях » квадратного уравнения равно нулю .

Их также называют « корней », или иногда « нулей »

Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько разных способов найти решения:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто введите значения a, b и c и выполните вычисления.

Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b 2 — 4ac) 2a

x = −b — √ (b 2 — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но не всегда так получается!

  • Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
  • Или представьте, что кривая настолько высока , что даже не пересекает ось x!

Вот где нам помогает «Дискриминант» …

Дискриминант

Вы видите b 2 — 4ac в приведенной выше формуле? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» возможные типы ответов:

  • при положительном значении b 2 — 4ac получаем два Реальных решения
  • , когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
  • при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто введите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

Вставьте a, b и c: x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: x = −6 ± √ (36 -20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

х = -0.2 или −1

Ответ: x = −0,2 или x = −1

И мы их видим на этом графике.

Чек -0,2 : 5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1
= 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1
= 0,2 — 1,2 + 1
= 0
Чек -1 : 5 × ( −1 ) 2 + 6 × ( −1 ) + 1
= 5 × (1) + 6 × (-1) + 1
= 5–6 + 1
= 0

Вспоминая формулу

Добрый читатель предложил спеть это к «Pop Goes the Weasel»:

«x равно минус b «Вокруг тутового куста
плюс или минус квадратный корень Обезьяна погналась за лаской
в квадрате b минус четыре a c Обезьяна думала, что все было весело
ВСЕ более двух а « Поп! идет ласка »

Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

«Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с четырьмя классными цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи.
«

Комплексные решения?

Когда Дискриминант (значение b 2 — 4ac ) отрицательный, мы получаем пару Комплексных решений … что это означает?

Это означает, что наш ответ будет включать мнимые числа. Вот Это Да!

Пример: Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = −2 ± √ (−16) 10

√ (-16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = −2 ± 4 и 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и

График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставим -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы получили комплексные числа.

НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x в 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Сводка

  • Квадратное уравнение в стандартной форме: ax 2 + bx + c = 0
  • Квадратичные уравнения можно разложить на множители
  • Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a
  • Когда дискриминант ( b 2 −4ac ) равен:
    • положительный, есть 2 реальных решения
    • ноль, есть одно реальное решение
    • негатив, есть 2 комплексных решения

,Решения

NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения

Вы можете выбрать главу 4 — Решения NCERT по квадратным уравнениям для PDF-файла по математике 10 класса для предстоящих экзаменов, а также найти решения всех глав по математике ниже.

Решения NCERT для математики 10 класса

Глава 4 Квадратное уравнение 10 класса разделена на пять разделов и четыре упражнения. Первый раздел — это введение без упражнений.Второй и третий разделы объясняют два важных свойства, тогда как четвертый и пятый разделы возвращаются к темам, изучаемым в классе 9.

Список упражнений и тем, которые они охватывают:

Путешествие от полинома к квадратному уравнению

Каждое квадратное уравнение является полиномом. (второй степени) равен нулю. То есть, когда полином наивысшего значения показателя степени, равного двум, равен нулю, он становится квадратным уравнением. Например, когда многочлен второй степени, такой как 2 \ [x ^ {2} \] + 3x + 4, равен нулю (т.е.{2} \] + 3x + 4 = 0) оно называется квадратным уравнением.

Слово квадратное уравнение представляет собой комбинацию слова квадрат, означающего квадрат, и «уравнение», которое имеет знак равенства (=). Следовательно, квадратное уравнение всегда имеет вторую степень, то есть показатель степени возведен в квадрат и всегда равен нулю. Стандартная форма квадратного уравнения:

Здесь a, b и c — действительные числа, а ‘a’ не может быть равным нулю

Решения квадратного уравнения

Значения переменной, удовлетворяющей квадратному уравнению: называются нулями или корнями квадратного уравнения.2} \] — 3x + 1 = 0. Если мы поместим значение x как 1, тогда все уравнение станет нулевым, что фактически равно значению в правой части, то есть LHS = RHS.

График

Если вы построите график квадратного уравнения, вы всегда получите кривую, которая дважды касается оси x, потому что переменная возведена в степень 2 (возведена в квадрат). Например, если мы нарисуем кривую x2-8x + 12 = 0, тогда кривая встретится с осью x в двух точках (2,0) и (6,0). Итак, 2 и 6 — корни квадратного уравнения.{2} \] + bx + c = 0. Позже Шридхарачарья (1025 г. н.э.) вывел формулу, известную теперь как квадратная формула (цитируемая Бхаскарой II) для решения квадратного уравнения методом завершения квадрата. Арабский математик Аль-Хорезми (около 800 г. н.э.) также изучал квадратные уравнения разных типов. Авраам бар Хийя Ха-Наси в своей книге «Liber embadorum», опубликованной в Европе в 1145 году н. Э., Дал полные решения различных квадратных уравнений.

Лучше знать решения, чем все вопросы — NCERT Solutions By Vedantu

.

NCERT Solutions Class 10 Maths Глава 4 Квадратичные уравнения

    • Классы
      • Класс 1-3
      • Класс 4-5
      • Класс 6-10
      • Класс 11-12
    • КОНКУРСНЫЙ ЭКЗАМЕН
      • BNAT 000 NC
        • 000 NC Книги
          • Книги NCERT для класса 5
          • Книги NCERT для класса 6
          • Книги NCERT для класса 7
          • Книги NCERT для класса 8
          • Книги NCERT для класса 9
          • Книги NCERT для класса 10
          • Книги NCERT для класса 11
          • Книги NCERT для класса 12
        • NCERT Exemplar
          • NCERT Exemplar Class 8
          • NCERT Exemplar Class 9
          • NCERT Exemplar Class 10
          • NCERT Exemplar Class 11
          • 9000 9000
          • NCERT Exemplar Class
            • Решения RS Aggarwal, класс 12
            • Решения RS Aggarwal, класс 11
            • Решения RS Aggarwal, класс 10
            • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
            • Решения RS Aggarwal класса 8
            • Решения RS Aggarwal класса 7
            • Решения RS Aggarwal класса 6
          • Решения RD Sharma
            • RD Sharma Class 6 Решения
            • Решения RD Sharma
            • Решения RD Sharma класса 8
            • Решения RD Sharma класса 9
            • Решения RD Sharma класса 10
            • Решения RD Sharma класса 11
            • Решения RD Sharma класса 12
          • PHYSICS
            • Механика
            • Оптика
            • Термодинамика Электромагнетизм
          • ХИМИЯ
            • Органическая химия
            • Неорганическая химия
            • Периодическая таблица
          • MATHS
            • Теорема Пифагора
            • 0004
            • 000300030004
            • Простые числа
            • Взаимосвязи и функции
            • Последовательности и серии
            • Таблицы умножения
            • Детерминанты и матрицы
            • Прибыль и убыток
            • Полиномиальные уравнения
            • Деление фракций
          • 000
          • 000
          • 000
          • 000
          • 000
          • 000 Microology
          • 000
          • 000 Microology
          • 000 BIOG3000
              FORMULAS
              • Математические формулы
              • Алгебраические формулы
              • Тригонометрические формулы
              • Геометрические формулы
            • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
              • Математические калькуляторы
              • 0003000 PBS4000
              • 000300030002 Примеры калькуляторов химии
              • Класс 6
              • Образцы бумаги CBSE для класса 7
              • Образцы бумаги CBSE для класса 8
              • Образцы бумаги CBSE для класса 9
              • Образцы бумаги CBSE для класса 10
              • Образцы бумаги CBSE для класса 11
              • Образцы бумаги CBSE чел. для класса 12
            • CBSE — вопросник за предыдущий год
              • CBSE — вопросник за предыдущий год, класс 10
              • CBSE — за предыдущий год — вопросник, класс 12
            • HC Verma Solutions
              • HC Verma Solutions Class 11 Physics
              • Решения HC Verma, класс 12, физика
            • Решения Лахмира Сингха
              • Решения Лакмира Сингха, класс 9
              • Решения Лакмира Сингха, класс 10
              • Решения Лакмира Сингха, класс 8
            • Заметки CBSE
            • , класс
                CBSE Notes
                  Примечания CBSE класса 7
                • Примечания CBSE класса 8
                • Примечания CBSE класса 9
                • Примечания CBSE класса 10
                • Примечания CBSE класса 11
        ,Квадратичная формула

        — вывод, решение и пример

          • Классы
            • Класс 1-3
            • Класс 4-5
            • Класс 6-10
            • Класс 11-12
          • КОНКУРСНЫЙ ЭКЗАМЕН
            • BNAT 000 NC
              • 000 NC Книги
                • Книги NCERT для класса 5
                • Книги NCERT для класса 6
                • Книги NCERT для класса 7
                • Книги NCERT для класса 8
                • Книги NCERT для класса 9
                • Книги NCERT для класса 10
                • Книги NCERT для класса 11
                • Книги NCERT для класса 12
              • NCERT Exemplar
                • NCERT Exemplar Class 8
                • NCERT Exemplar Class 9
                • NCERT Exemplar Class 10
                • NCERT Exemplar Class 11
                • 9000 9000
                • NCERT Exemplar Class
                  • Решения RS Aggarwal, класс 12
                  • Решения RS Aggarwal, класс 11
                  • Решения RS Aggarwal, класс 10
                  • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
                  • Решения RS Aggarwal класса 8
                  • Решения RS Aggarwal класса 7
                  • Решения RS Aggarwal класса 6
                • Решения RD Sharma
                  • RD Sharma Class 6 Решения
                  • Решения RD Sharma
                  • Решения RD Sharma класса 8
                  • Решения RD Sharma класса 9
                  • Решения RD Sharma класса 10
                  • Решения RD Sharma класса 11
                  • Решения RD Sharma класса 12
                • PHYSICS
                  • Механика
                  • Оптика
                  • Термодинамика Электромагнетизм
                • ХИМИЯ
                  • Органическая химия
                  • Неорганическая химия
                  • Периодическая таблица
                • MATHS
                  • Теорема Пифагора
                  • 0004
                  • 000300030004
                  • Простые числа
                  • Взаимосвязи и функции
                  • Последовательности и серии
                  • Таблицы умножения
                  • Детерминанты и матрицы
                  • Прибыль и убыток
                  • Полиномиальные уравнения
                  • Деление фракций
                • 000
                • 000
                • 000
                • 000
                • 000
                • 000 Microology
                • 000
                • 000 Microology
                • 000 BIOG3000
                    FORMULAS
                    • Математические формулы
                    • Алгебраические формулы
                    • Тригонометрические формулы
                    • Геометрические формулы
                  • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
                    • Математические калькуляторы
                    • 0003000 PBS4000
                    • 000300030002 Примеры калькуляторов химии
                    • Класс 6
                    • Образцы бумаги CBSE для класса 7
                    • Образцы бумаги CBSE для класса 8
                    • Образцы бумаги CBSE для класса 9
                    • Образцы бумаги CBSE для класса 10
                    • Образцы бумаги CBSE для класса 11
                    • Образцы бумаги CBSE чел. для класса 12
                  • CBSE — вопросник за предыдущий год
                    • CBSE — вопросник за предыдущий год, класс 10
                    • CBSE — за предыдущий год — вопросник, класс 12
                  • HC Verma Solutions
                    • HC Verma Solutions Class 11 Physics
                    • Решения HC Verma, класс 12, физика
                  • Решения Лакмира Сингха
                    • Решения Лакмира Сингха, класс 9
                    • Решения Лакмира Сингха, класс 10
                    • Решения Лакмира Сингха, класс 8
                  • Заметки CBSE
                  • , класс
                      CBSE Notes
                        Примечания CBSE класса 7
                      • Примечания CBSE класса 8
                      • Примечания CBSE класса 9
                      • Примечания CBSE класса 10
                      • Примечания CBSE класса 11
                      • Примечания CBSE класса 12
                    • Примечания к редакции CBSE
                      • Примечания к редакции
                      • CBSE
                      • Примечания к редакции класса 10 CBSE
                      • Примечания к редакции класса 11 CBSE 9000 4
                      • Примечания к редакции класса 12 CBSE
                    • Дополнительные вопросы CBSE
                      • Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
                      • Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
                      • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
                      • Дополнительные вопросы по науке класса 9 CBSE
                      • Дополнительные вопросы по математике для класса 10
                      • Дополнительные вопросы по науке, класс 10 по CBSE
                    • CBSE, класс
                      • , класс 3
                      • , класс 4
                      • , класс 5
                      • , класс 6
                      • , класс 7
                      • , класс 8
                      • , класс 9 Класс 10
                      • Класс 11
                      • Класс 12
                    • Учебные решения
                  • Решения NCERT
                    • Решения NCERT для класса 11
                      • Решения NCERT для класса 11 по физике
                      • Решения NCERT для класса 11 Химия
                      • Решения для биологии класса 11
                      • Решения NCERT для математики класса 11
                      • 9 0003 NCERT Solutions Class 11 Accountancy
                      • NCERT Solutions Class 11 Business Studies
                      • NCERT Solutions Class 11 Economics
                      • NCERT Solutions Class 11 Statistics
                      • NCERT Solutions Class 11 Commerce
                    • NCERT Solutions For Class 12
                      • NCERT Solutions For Класс 12 по физике
                      • Решения NCERT для химии класса 12
                      • Решения NCERT для класса 12 по биологии
                      • Решения NCERT для класса 12 по математике
                      • Решения NCERT Бухгалтерский учет 12 класса
                      • Решения NCERT Класс 12 Бизнес-исследования
                      • Решения NCERT, класс 12 Экономика
                      • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
                      • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
                      • NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
                      • NCERT Solutions Class 12 Commerce
                      • NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
                    • NCERT Solutions For Класс 4
                      • Решения NCERT для математики класса 4
                      • Решения NCERT для класса 4 EVS
                    • Решения NCERT для класса 5
                      • Решения NCERT для математики класса 5
                      • Решения NCERT для класса 5 EVS
                    • Решения NCERT для класса 6
                      • Решения NCERT для математики 6 класса
                      • Решения NCERT для науки 6 класса
                      • Решения NCERT для 6 класса социальных наук
                      • Решения NCERT для 6 класса Английский
                    • Решения NCERT для класса 7
                      • Решения NCERT для класса 7 Математика
                      • Решения NCERT для класса 7 Наука
                      • Решения NCERT для класса 7 по социальным наукам
                      • Решения NCERT для класса 7 Английский
                    • Решения NCERT для класса 8
                      • Решения NCERT для класса 8 Математика
                      • Решения NCERT для класса 8 Science
                      • Решения NCERT для класса 8 по социальным наукам
                      • Решение NCERT ns для класса 8 Английский
                    • Решения NCERT для класса 9
                      • Решения NCERT для социальных наук класса 9
                    • Решения NCERT для математики класса 9
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
                      • Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 2
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 3
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 4
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 5
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 6
                      • Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 7
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 8
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 9
                      • Решения NCERT
                      • для математики класса 9 Глава 10
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 11
                      • Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 12
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 13
                      • Решения
                      • NCERT для математики класса 9 Глава 14
                      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
                    • Решения NCERT для науки класса 9
                      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
                      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
                      • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 4
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 5
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 6
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 7
                      • Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 8
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 9
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 10
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 12
                      • Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 11
                      • Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 13
                      • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 14
                      • Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
                    • Решения NCERT для класса 10
                      • Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
                    • Решения NCERT для математики 10 класса
                      • Решения NCERT для класса 10 по математике Глава 1
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 3
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 5
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 6
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 8
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 9
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 10
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 11
                      • Решения NCERT по математике класса 10 Глава 12
                      • Решения NCERT по математике класса 10 Глава 13
                      • NCERT Sol
                      • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
                    • Решения NCERT для науки 10 класса
                      • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
                      • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 3
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 4
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 5
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 6
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 7
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 8
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 9
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 10
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 11
                      • Решения NCERT для науки класса 10, глава 12
                      • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 13
                      • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 14
                      • Решения NCERT для науки класса 10 Глава 15
                      • Решения NCERT
                      • для науки класса 10 Глава 16
                    • Учебный план NCERT
                    • NCERT
                  • Commerce
                    • Class 11 Commerce Syllabus
                        ancy Class
                      • Программа обучения бизнесу 11 класса
                      • Программа курса экономики 11 класса
                    • Программа обучения 12 класса
                      • Программа обучения 12 класса
                      • Программа обучения бизнесу 12 класса
                      • Программа курса 12 класса 9000 9000
                          • Образцы документов по коммерции класса 11
                          • Образцы документов класса 12
                        • TS Grewal Solutions
                          • TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
                          • TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
                        • Отчет о движении денежных средств
                        • Что такое Entry eurship
                        • Защита прав потребителей
                        • Что такое основной актив
                        • Что такое баланс
                        • Формат баланса
                        • Что такое акции
                        • Разница между продажей и маркетингом
                      • ICSE
                        • Документы ICSE
                        • Вопросы ICSE
                        • ML Aggarwal Solutions
                          • ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
                          • ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
                          • ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
                          • ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths
                          • ML 6 Maths
                          • ML Aggarwal Solutions Class 6 Maths
                          • ML Aggarwal Solutions Class
                        • Selina Solutions
                          • Selina Solutions для класса 8
                          • Selina Solutions для Class 10
                          • Selina Solutions для Class 9
                        • Frank Solutions
                          • Frank Solutions для математики класса 10
                          • Frank Solutions для математики класса 9
                        • Класс ICSE 9000 2
                        • ICSE Class 6
                        • ICSE Class 7
                        • ICSE Class 8
                        • ICSE Class 9
                        • ICSE Class 10
                        • ISC Class 11
                        • ISC Class 12
                    • IAS
                        Exam
                      • IAS
                      • Civil
                      • Сервисный экзамен
                      • Учебный план UPSC
                      • Бесплатная подготовка к IAS
                      • Текущие события
                      • Список статей IAS
                      • Пробный тест IAS 2019
                        • Пробный тест IAS 2019 1
                        • Пробный тест IAS 2019 2
                      • Экзамен KPSC KAS
                      • Экзамен UPPSC PCS
                      • Экзамен MPSC
                      • Экзамен RPSC RAS ​​
                      • TNPSC Group 1
                      • APPSC Group 1
                      • Экзамен BPSC
                      • WBPS3000 Экзамен 9000 9000 MPC4000
                    • Вопросник UPSC 2019
                      • Ключ ответов UPSC 2019
                    • Коучинг IAS
                      • IA S Coaching Бангалор
                      • IAS Coaching Дели
                      • IAS Coaching Ченнаи
                      • IAS Coaching Хайдарабад
                      • IAS Coaching Mumbai
                  • JEE
                    • BYJU’SEE
                    • 9000 JEE 9000 Основной документ 9000 JEE 9000 JEE 9000 JEE 9000
                    • Вопросник JEE
                    • Биномиальная теорема
                    • Статьи JEE
                    • Квадратичное уравнение
                  • NEET
                    • Программа BYJU NEET
                    • NEET 2020
                    • NEET Приемлемость 9000 Критерии 9000 NEET4 9000 Пример 9000 NEET 9000 9000 NEET
                    • Поддержка
                      • Разрешение жалоб
                      • Служба поддержки клиентов
                      • Центр поддержки
                  • Государственные советы
                    • GSEB
                      • GSEB Syllabus
                      • GSEB3
                      • GSEBE
                      • GSEBE
                      • 004
                      • MSBSHSE
                        • MSBSHSE Syllabus
                        • MSBSHSE Учебники
                        • Образцы статей MSBSHSE
                        • Вопросники MSBSHSE
                      • AP Board
                        • APSCERT3 AP 9000 Syll
                        • AP
                        • 9000 Syll
                        • AP 9000 Syll 9000SC4 9000 Syll
                        • 9000 Syll
                        • Syll
                      • MP Board
                        • MP Board Syllabus
                        • MP Board Образцы документов
                        • Учебники MP Board
                      • Assam Board
                        • Assam Board Syllabus
                        • Assam Board
                        • 9000 Board 9000 Board 9000 Учебники 9000 Board4 BSEB
                          • Bihar Board Syllabus
                          • Bihar Board Учебники
                          • Bihar Board Question Papers
                          • Bihar Board Model Papers
                        • BSE Odisha
                          • Odisha Board Syllabus
                          • Odisha Board Syllabus
                          • Программа PSEB
                          • Учебники PSEB
                          • Вопросы PSEB
                        • RBSE
                          • Rajasthan Board Syllabus
                          • RBSE Учебники
                          • RBSE Учебники
                        • HPBOSE9
                        • HPBOSE9 Syllab
                        • 000 HPBOSE
                        • JKBOSE
                          • Программа обучения JKBOSE
                          • Образцы документов JKBOSE
                          • Шаблон экзамена JKBOSE
                        • TN Board
                          • TN Board Syllabus
                          • TN Board 9000 9000 документов 9000 TN Board 9000 документов 9000 документов
                          • JAC
                            • Программа JAC
                            • Учебники JAC
                            • Вопросники JAC
                          • Telangana Board
                            • Telangana Board Syllabus
                            • Telangana Board Учебники
                            • Papers Telangana Board Учебники
                            • Учебный план KSEEB
                            • Типовой вопросник KSEEB
                          • KBPE
                            • Учебный план KBPE
                            • Учебники KBPE
                            • Документы с вопросами KBPE
                          • 9000 Доска UPMS3 9000 Доска UPMSP 9000 UP4
                        • Совет по Западной Бенгалии
                          • Учебный план Совета по Западной Бенгалии
                          • Учебники для Совета по Западной Бенгалии
                          • Вопросы для Совета по Западной Бенгалии
                        • UBSE
                        • TBSE
                        • Гоа Совет
                        • 000
                        • NBSE000
                        • Mega Доска
                        • Manipur Board
                        • Haryana Board
                      • Государственные экзамены
                        • Банковские экзамены
                          • Экзамены SBI
                          • Экзамены IBPS
                          • Экзамены RBI
                          • IBPS

                            03
                          • Экзамен 9SC 9SC2
                          • SSC GD
                          • SSC CPO 900 04
                          • SSC CHSL
                          • SSC CGL
                        • Экзамены RRB
                          • RRB JE
                          • RRB NTPC
                          • RRB ALP
                        • O Экзамены на страхование
                        • LIC4
                        • LIC4
                        • UPSC CAPF
                        • Список статей государственных экзаменов
                      • Обучение детей
                        • Класс 1
                        • Класс 2
                        • Класс 3
                  ,