Квадратные уравнения решение скачать: Квадратные уравнения + решение v.1.2 скачать для андройд

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь —

дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть ровно один корень;
Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

x² − 8x + 12 = 0;
5x² + 3x + 7 = 0;
x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:
x² − 2x − 3 = 0;
15 − 2x − x² = 0;
x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

x² + 9x = 0;
x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:
x² − 7x = 0;
5x² + 30 = 0;
4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

Теорема Виета
Следствия из теоремы Виета
Тест на тему «Значащая часть числа»
Правила комбинаторики в задаче B6
Как представить обычную дробь в виде десятичной
Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией

Решение квадратных уравнений cкачать на Windows бесплатно

Характеристики

Лицензия: Бесплатно

Совместимость:

Описание

Программа для решения квадратных уравнений в «автоматическом» режиме, вам необходимо ввести значения переменных: a,b,с Переменные можно записывать как положительные так и отрицательные пример: a = -3 b = -100 c = +20

Скриншоты

Если у вас есть информация о доступных версиях программы, вы можете отправить ее нам.

Добавить программу

Укажите полное название программы и описание ее назначения

Спасибо за помощь!

Ваше сообщение было отправлено

Тренажёр по алгебре (8 класс) на тему: Неполные квадратные уравнения

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

3×2-12=0
2х2+6х=0
1,8х2=0
х2+25=0
х2-=0
х2=3х
х2+2х-3=2х+6
х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

3×2-1=0
2х2-6х=0
8х2=0
х2+81=0
х2-=0
х2=5х
х2+х-3=х+6
х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

3×2-12=0
2х2+6х=0
1,8х2=0
х2+25=0
х2-=0
х2=3х
х2+2х-3=2х+6
х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

3×2-1=0
2х2-6х=0
8х2=0
х2+81=0
х2-=0
х2=5х
х2+х-3=х+6
х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

1		2		3		4
1	2;-2	1	3,-3	1	√1/3;-√1/3	1	4,-4
2	0;-3	2	0;4	2	0;3	2	0;5
3	0	3	0	3	0	3	0
4	Нет корней	4	Нет корней	4	Нет корней	4	Нет корней
5	√6;-√6	5	√5;-√5	5	√3;-√3	5	√5;-√5
6	0;3	6	0;7	6	0;5	6	0;1
7	√3;-√3	7	4;-4	7	3;-3	7	4;-4
8	0,6;-0,6	8	0,5;-0,5	8	0,9;-0,9	8	0,7;-0,7

Проект » Квадратные уравнения»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

Учебный проект

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Автор: ученик 8»а» класса

Комарков Дмитрий

Руководитель:

учитель математики

высшей категории

Смирнова

Надежда Александровна

2012 год

Оглавление.

Введение

Глава 1. Изучение литературы

Глава 2. Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и приемах их решения

Глава 3. Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Глава 4. Материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Глава 5. Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами.

Глава 6. Выводы

Список литературы

Введение.

Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики.

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Цель: создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос: как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Гипотеза: Предполагаем, что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

Задачи:

Обобщить и систематизировать имеющийся материал о квадратных уравнениях и способах их решения
Установить связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения и найти нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений
Изучить дополнительные литературу и источники информации
Систематизировать нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений
Разработать дидактический материал и провести его апробацию на факультативе в 8 классе

Ход работы над проектом:

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет изучения: приемы решения квадратных уравнений

Глава 1

Изучение литературы

Основной материал, связанный с изучением темы «Решение квадратных уравнений» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Алгебра-8 класс разобраны основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2.Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений, о нестандартных приемах их решения, в школьных учебниках отсутствуют. Поэтому в ходе работы над проектом изучалась дополнительная научная литература и другие источники информации.

Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений нестандартными приемами и перейти к следующему этапу в исследовании- научиться применять полученные знания на практике.

Глава 2.

Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

Немного истории.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В III в. н. э. квадратное уравнение
х² – 20х + 96 = 0
без обращения к геометрии
решил великий древнегреческий математик Диофант (3век).

В 1591 г. Ф. Виет вывел формулы, выражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал свою знаменитую теорему.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения.

А) Общий вид квадратного уравнения

Б) Известные способы решения

квадратных уравнений

полные

Известные способы решения

квадратных уравнений

полные (особые случаи)

полные приведённые квадратные уравнения

Теорема, обратная теореме Виета

Неполные квадратные уравнения

— Нет корней, если –с/a <0

+ √-с/a ,если –c|a>0

—

Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки

Корни квадратного уравнения ах² + bx + с = 0 (а ≠ 0)

можно рассматривать как абсциссы точек пересечения

окружности с центром Q (- в/2a ; (a+c)/2a ), проходящей через точку

A(О; 1), и оси Ох .

1) если QA > (a+c)/2a , то
окружность пересекает ось Ох в двух точках
М(х₁; 0) и N(х₂; 0) , уравнение имеет
корни х₁; х₂

2) если QA = (a+c)/2a , то

окружность касается оси Ох в точке М(х₁; 0),
уравнение имеет корень х_1.

3) если QA<(a+c)/2a , то окружность не имеет общих точек с осью Ох,
и уравнение
не имеет корней.

Проведя анализ, я заметил, что значения корней квадратного уравнения зависят от его коэффициентов. Следовательно, искать нестандартные приемы решения квадратных уравнений необходимо учитывая эти связи.

Глава 3

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

метод коэффициентов

Прием « переброски» старшего коэффициента

Глава 4

Материал для проведения проверочной работы по решению квадратных уравнений с помощью нестандартных приемов

Найденные нестандартные приемы было решение апробировать на факультативном занятии в 8 классе.

Цель данной работы: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Данная работа проведена в 2 этапа:

Изучение теории
Практическая работа

Были подобраны задачи для проведения работы.

Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

А) 4х² – 13х + 9 =0

(1; 2,25)

Б) 1978х² – 1984х + 6=0

(1; 6/1978)

В) 4х² + 11х + 7 = 0

(-1; -7/4)

Г) 319х² + 1988х +1669=0

(-1; -1669/319)

Д) 1999х² + 2000х+1=0

(-1; -1/1999)

Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

А) 313х² +326х+13=0

(-1; -13/313)

Б) 839х²— 448х -391=0

(1; -391/839)

В) 345х² – 137х – 208=0

(1;.-208/345)

Г) 939х²+978х+39=0

(-1; -39/939)

Используя полученные знания, установи соответствие:

1. х²+5х+6=0 1. 1/6;1/2

2. 6х²-5х+1=0 2. 1; 3/2

3. 2х²-5х+3=0 3. 1; 2/3

4. 3х²-5х+2=0 4. -2; -3

5. х²-5х+6=0 5. -1/3 ; -1/2

6. 6х²+5х+1=0 6. -1; -3/2

7. 2х²+5х+2=0 7. -1; -2/3

8. 3х²+5х+2=0 8. 2; 3

Глава 5

Анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;
Наиболее возможное количество набранных баллов-17
Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Результаты практикума.

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 — 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 – 0 человек

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Глава 6

Выводы

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Литература

1.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике: — М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970

2 А М.Л.Галицкий,.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение. 2001

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996

5. Штейнгауз В.Г.:Математический калейдоскоп.- М.: Бюро «Квантум»,2005

6.Знциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика,1985

Защита проекта «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»

В этом учебном году на уроках алгебры мы изучили тему «Квадратные уравнения и способы их решения».

В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Недавно ко мне обратился мой знакомый -ученик 11 класса, который забыл общие формулы решения квадратного уравнения. Я сначала удивился, но потом задумался над тем, как помочь таким ребятам найти другие, ранее не изученные приемы решения квадратных уравнений, без применения основных формул решения квадратного уравнения.

Так появился учебный проект «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений»(Слайд1)_

Эпиграфом к проекту могут служить слова Сойера:(2слайд)

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

У. Сойер.

Цель проекта;(3 слайд)

создание системы нестандартных приемов решения квадратных уравнений и банка задач

Проблемный вопрос (3 Слайд)

как решить квадратное уравнение, если забыл формулы?

Я преположил(3слайд — гипотеза)

что существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры

План исследования (4слайд)

1. Изучение литературы по истории вопроса

2.Обобщение накопленных знаний о квадратных уравнениях и способах их решения из школьной программы

3. Изучение дополнительной литературы и других источников информации

4. Систематизация приемов решения квадратных уравнений.

5. Разработка дидактического материала

6. Проведение практической работы

7.Анализ практической работы

Немного истории вопроса(5 слайд)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Однако, почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Именно с 1591 г. мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

В результате обобщения знаний о способах решения квадратных уравнений, анализа дополнительной литературы и других источников информации, найдены нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

(слайд6)Метод коэффициентов

Рассказать

(слайд7) метод переброски

Рассказать

Для проверки эффективности использования этих приемов я разработал дидактический материал и предложил провести занятие факультатива в 8 классе поданной теме. Цель занятия: проверить на практике использование нестандартных приемов вычисления корней квадратного уравнения.

Проведен анализ работы учащихся по решению квадратных уравнений нестандартными способами (слайд 8)

Разработаны критерии оценки проведенного практикума:

Всего предложено 17 заданий.

За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл; наибольшее количество набранных баллов-17
Если ученик набирает менее 7 баллов, то выставляется оценка «2»

от 7 до 11 баллов «3»

от 12 до 15 баллов «4»

от 16-17 баллов «5»

Результаты практикума.

Выполняли работу- 11человек

Набрали баллов от 16-17 — 5человек (45%)

От 12-15- 6человек (55%)

Менее 12 – 0 человек

Средний балл -4,45

Процент качества- 100%

Типичные ошибки, допущенные в работе связаны с невнимательностью учащихся.

Выводы по результатам проведения практикума

Успешно выполненная работа учащимися 8 класса, позволяет сделать следующие выводы:

нестандартные приемы решения квадратных уравнений: заслуживают внимания;

позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов.

Слайд 9

Выводы

В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена апробация этих приемов.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а так же, для контроля за знаниями учащихся.

Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Слайд 10 Спасибо за внимание

история

первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Глава 2

Классификация задач на проценты

В ходе проведения исследовательской работы в УМК под ред. Г.В.Дорофеева была проведена классификация всех задач по их основным типам.

Глава 3

Описание средств, методов

организации деятельности

В работе использовался общественный опрос и проведена обработка собранных данных по следующим вопросам:

1. Количественный состав

2. Внешний вид

3. Темперамент

4. Данные гороскопа

5 .Увлечения

6. Распределение времени суток

7. Успеваемость

Заключение

Проводя исследование мы решили много практических задач на проценты, применяя умения решать опорные задачи .

Это помогло нам не только дать полное и яркое представление о нашем классе, но и закрепить умение решать задачи на проценты.

Данный проект был апробирован на общем собрании учащихся и родителей. Материалы проекта будут использованы при подготовке других внеклассных дел в классе и в школе, а в дальнейшем планируется разработать подобный проект для использования их при подготовке выпускных вечеров класса.

Глава 2

Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Список литературы

Г.В. Дорофеев «Математика-6» Издательство Просвещение, 2008г
А.В. Шевкин «Обучение решению текстовых задач», Русское слово, 2001
«Энциклопедия по математике» «Занимательная математика»,М.,2007
«Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006

Глава 2

Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях

Глава 3

Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

Глава 4

Нестандартные приемы решения квадратных уравнений

Глава5

Выводы

В ходе исследования я изучил литературу, решил множество различных квадратных уравнений и пришел к выводу, что существует связь между коэффициентами квадратного уравнения и приемами его решения. Учитывая этот факт были найдены и отработаны нестандартные приемы решения квадратных уравнений.

Данные приемы решения заслуживают внимания, так как они не отражены в школьных учебниках.

Овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения.

Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы экзаменов.

Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

4х² – 13х + 9 =0

(1; 2,25)

1978х² – 1984х + 6=0

(1; 6/1978)

4х² + 11х + 7 = 0

(-1; -7/4)

319х² + 1988х +1669=0

(-1; -1669/319)

1999х² + 2000х+1=0

(-1; -1/1999)

Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

313х² +326х+13=0

(-1; -13/313)

839х²— 448х -391=0

(1; -391/839)

345х² – 137х – 208=0

(1;.-208/345)

939х²+978х+39=0

(-1; -39/939)

3. Используя полученные знания, установи соответствие:

1. х²+5х+6=0 1. 1/6;1/2

2. 6х²-5х+1=0 2. 1; 3/2

3. 2х²-5х+3=0 3. 1; 2/3

4. 3х²-5х+2=0 4. -2; -3

5. х²-5х+6=0 5. -1/3 ; -1/2

6. 6х²+5х+1=0 6. -1; -3/2

7. 2х²+5х+2=0 7. -1; -2/3

8. 3х²+5х+2=0 8. 2;3

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

3) .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Рассмотрим уравнение
.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Разложение квадратного трехчлена на множители

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Его корни
,
.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

Смотри также: Квадратичная функция

Проект для НПК учащихся 8 класса «10 способов решения квадратных уравнений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Копьёвская средняя общеобразовательная школа

с углублённым изучением отдельных предметов»

Секция математики

10 способов решения квадратных уравнений

Авторы:

Тайдонова Анастасия Михайловна,

Тайдонова Виктория Михайловна,

учащиеся 8А класса

Руководитель:

Загородних Ольга Иосифовна,

учитель математики

п. Копьёво, 2016 г.

Содержание

Введение………………………………………………………….…..……………..3

1. Из истории решения квадратных уравнений…………………………………..4

2. Решение квадратных уравнений с помощью разложения на множители……6

3. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена..6

4. Решение квадратных уравнений по формуле ……………………………………..7

5. Теорема Виета………………………………………. …………………………..7

6. Решение квадратных уравнений способом «переброски»…………………….8

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………………….9

8. Закономерность коэффициентов………………………………………………..10

9. Графический способ решения квадратных уравнений………………………..11

10. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки…………..12

11. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………….13

Заключение………………………………………………………………………….14

Список литературы…………………………………………………………………15

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

Цель работы: изучение нестандартных способов решения квадратных уравнений.

Задачи работы: изучить сведения из истории решения квадратных уравнений, изложить 10 способов решения квадратных уравнений (стандартные и нестандартные)

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: для некоторых квадратных уравнений применение нестандартных способов решения позволяет устно найти корни этого уравнения.

1. Из истории решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, в их клинописных текстах встречаются кроме неполных и полные квадратные уравнения.
Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

При составлении квадратных уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача. «Найти 2 числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведения равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+x, другое же меньше, т.е. 10-x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение
(10+x)(10-x)=96, или же
100 — x²=96,
x²— 4=0.
Отсюда x=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный, Брахмагубта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единой канонической форме: ax²+bx=c , a>0.
Одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?»
Соответствующее задаче уравнение ()² + 12= x Бхаскара пишет под видом

x²— 64x= -768, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:
x²— 64x+32²= -768+1024,
(x — 32)² = 256,
x — 32= ±16,
x₁=16, x₂=48.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми.

При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Приведём пример.
Задача. Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень. (подразумевается корень уравнения x²+21= 10x) .

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XII—XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанные в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду
x²+bx=c,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

2. Решение квадратных уравнений с помощью разложения на множители

Квадратные уравнения общего вида надо привести к виду: A(x)∙B(x)=0, где A(x) и B(x) — многочлены относительно x.

Пример. Решить уравнение 4х²+5х+1=0. Слагаемое 5х представим в виде суммы двух слагаемых 4х и х, получим 4х²+4х+х+1=0. Применим способ группировки, уравнение примет вид 4х(х+1)+(х+1)=0. Левую часть уравнения раскладываем на множители (х+1)(4х+1)=0. Следовательно,
х+1=0 или 4х+1=0;
х₁= -1; х₂= — 0,25.
Ответ: х₁= -1, х₂= — 0,25

3.Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Решить уравнение 7х²– 6х– 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х²–х – = 0.

Выделим из трехчлена х²–х – квадрат двучлена. Для этого разность

х²–х представим в виде х²– 2·х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

х²– 2·х +––= 0.

Отсюда х²– 2·х += + ,

= .

Следовательно, х – = – или х – = ,

х – = – или х – =

х₁ = – или х₂ = 1.

Ответ: – и 1.

4. Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Универсальный способ решения квадратных уравнений – применение формулы корней.

ax² + bx + c = 0

D =b– 4ас – дискриминант квадратного уравнения.

Если D>0, то уравнение имеет два корня:

х= и х= .

2) Если D= 0, то уравнение имеет один корень:

х = –.

3) Если D<0, то уравнение не имеет корней.

Если второй коэффициент – чётное число, т.е. b=2k, то D₁=k²— ac, и корни уравнения ax² + 2k x + c = 0, то корни уравнения находятся по формуле
х= и х=

5. Теорема Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и его корнями, носящая имя знаменитого французского математика Франсуа Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.

Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид: х²+bx + c = 0. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q: х²+ px + q = 0.

Если х₁и х₂— корни уравнения х²+ px + q = 0, то х₁ + х₂= —p и х₁∙х₂ = q (D≥0).

Для приведённого квадратного уравнения справедлива теорема, обратная теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения
х²+ px + q = 0. Если m+n= —p и mn=q , то х₁= m и х₂= n.

Теорема Виета и обратная ей теорема позволяют:

1) проверить правильность найденных корней уравнения x² + px + q = 0;

2) судить о знаках и абсолютной величине корней уравнения x² + px + q = 0:

если p>0, q>0, то оба корня отрицательны;

если p<0, q >0, то оба корня положительны;

если p>0, q<0, то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если p<0, q<0, то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного;

3) устно находить целые корни уравнения x² + px + q = 0;

4) составлять квадратные уравнения с заданными корнями.

Пример 1. Рассмотрим уравнение х²+3х–40=0, D=3²+4∙40=169>0, уравнение имеет два корня.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

х=; х=.

Отсюда х= –8; х= 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х²+3х–40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен–40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х²+3х – 40=0.

Пример 2. Решить уравнение х² + 3х – 10 = 0, D=3²+4∙10=49>0, уравнение имеет два корня.

х₁·х₂= – 10, значит корни имеют разные знаки,

х₁ + х₂ = – 3, значит больший по модулю корень — отрицательное число.

Подбором находим корни: х₁= – 5, х₂ = 2.

6. Решение квадратных уравнений способом «переброски»

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета и, что самое важное, когда дискриминант является точным квадратом числа.

Решим уравнение 2х²– 11х+5=0 , перебросим коэффициент 2 к свободному члену. Получим новое уравнение y²–11y+10= 0.

D>0, по теореме, обратной теореме Виета, подбором находим корни

y= 10; y₂=1.

Корни уравнения необходимо поделить на 2, получаем корни исходного уравнения: х₁= 5; х₂= 0,5

Ответ: х₁= 5; х₂= 0,5.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

1) Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй равен .

Доказательство.

Выразим b из равенства a + b + c = 0, b = — a – c.

Подставим это выражение в формулу корней:

х_1,2=

Получим корни: х₁=, х₂=.

2) Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту a+c=b, то один из корней равен -1, а второй равен — .

Доказательство.
Выразим b из равенства a — b + c = 0, b = a + c, подставим в формулу корней:

x_1,2=

Получаем корни: х₁=, х₂=.

Пример 1. Решить уравнение 137х²+20х -157= 0.

a=137, b=20, c= -157.

a+b+c=137+20-157=0

х₁=1, х₂= =.
Ответ: 1; .
Пример 2. Решить уравнение 127х²+272х + 145 =0.
a=127, b=272, c=145.
a+c=127+145=272

х₁= -1, х₂ = — = — .
Ответ: х₁= -1, х₂ = — = — .

8. Закономерность коэффициентов

ax² + bx + c = 0

1) Если а²+1= b и с = а, то корни квадратного уравнения равны

х= –а; х= –.

ax² + (а²+1)∙х+ а= 0

Пример. Решить уравнение: 6х²+37х +6 = 0,

a =6, b=37, c=6,

а²+1=36+1=37, a=c=6, значит,

х= –6; х= –.

2) Если а²+1 = —b и с = а, то корни квадратного уравнения равны

х= а; х= .

ax²– (а²+1)∙х + а= 0

Пример. Решить уравнение: 15х²–226х +15 = 0,

a =15, b=-226, c=15,

а²+1= 225+1=226= —b, a=c=15, значит,

х= 15; х= –.

3) Если а²–1= b и а= — c, то корни квадратного уравнения равны

х= –а; х= .

ax²+ (а²–1)∙ х– а= 0

Пример. Решить уравнение: 17х²+288х –17 = 0,

a =17, b=288, c=-17,

а²–1= 289—1=288=b, а= 17= —c, значит,

х= –17; х=.

4) Если а²–1= —b и а = -с, то корни квадратного уравнения равны

х= а; х=–.

аx ²+ (а²–1)∙х– а= 0

Пример. Решить уравнение: 10х²–99х –10 = 0.

a =10, b=-99, c=-10,

а²–1=100—1 = 99 = —b, а=10= -с, значит,

х= 10; х= –.

9. Графический способ решения квадратных уравнений

Для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 графическим способом необходимо построить два графика: y = ax²и y = —bx — c.

Абсциссы точек пересечения графиков и будут корнями уравнения.
1)Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.
2) Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.
3)Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

Решим уравнение x² – x –1=0 графическим способом. Для этого построим два графика: y=x²и y=x+1.

Ответ: x₁—0,6; х₂2,6.

10. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 (а ≠ 0) можно рассматривать

как абсциссы точек пересечения оси Ох и окружности с центром Q (- ; ),

проходящей через точку A(0; 1).

11. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z²+ pz+q=0.

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z²+ pz+q=0.

Если это уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из –p. В случае, когда оба корня отрицательные, берут z=—t и находят по номограмме два положительных корня t₁и t₂уравнения t²— pt+q=0, а затем z₁= —t₁, z₂= —t₂. Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z=kt и решают посредством номограммы уравнения t²+ t+ =0, где k берётся с таким расчётом, чтобы имели место неравенства:

—12,6≤ ≤+ 12,6; —12,6≤+12,6.

Для уравнения z²— 9z+8=0 номограмма даёт корни: z₁=8 и z₂=1.

Заключение

Практически всё, что окружает человека- это всё так или иначе связанно с математикой. Поэтому решение многих практически задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Представленные нами приёмы решения квадратных уравнений заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики.

Овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения.

Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы выпускных экзаменов.

Список литературы

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе, VII-VIII классы – М.: Просвещение, 1982.

2. Макарычев, Ю.Н., Миндюк, Н.Г., Нешков, К.И., Феоктистов, И.Е. Алгебра, 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждения / под редакцией Н.Ю. Макарычева, Н.Г. Миндюк и др. М.: Мнемозина, 2008.

3.Никольская, И.Л. Факультативный курс по математике: учебное пособие для учащихся 7-9 классов средней школы / составитель И.Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991.

Решение квадратных уравнений

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

За этот урок мы решим 33 квадратных уравнения!

Всех видов, всеми способами.

Ты точно разберешься с этой темой!

И самое главное..

Зачем нужно уметь хорошо и быстро решать квадратные уравнения?

Решение многих других уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений!

Будет обидно на экзамене решить какое-нибудь сложное уравнение и запнуться на квадратном.

Потому, давай начнем!

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

Что такое квадратное уравнение?

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное».

Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате.

И при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Если говорить научным, математическим языком, то…

Квадратное уравнение, это уравнение вида

где – неизвестное,

, , – некоторые числа, причем .

и называют коэффициентами квадратного уравнения,

а – свободным членом.

Сначала научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое

Пример 1

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2

Домножим левую и правую часть на :

Это уравнение, хотя в нем изначально был , не является квадратным!

Пример 3

Домножим все на :

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену , то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

Пример 4

Вроде бы есть , но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

Видишь, сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет

Проверь ответы

квадратное;
квадратное;
не квадратное;
не квадратное;
не квадратное;
квадратное;
не квадратное;
квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:

Два вида квадратных уравний — полные и неполные

Полные квадратные уравнения

Полные квадратные уравнения — это уравнения, в которых коэффициенты и , а также свободный член с не равны нулю (как в примере ).

Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения – это уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:

Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента.

Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно.

Такое деление обусловлено методами решения.

Рассмотрим каждый из них подробнее.

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Решение неполных квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения бывают типов:

, в этом уравнении коэффициент равен .
, в этом уравнении свободный член равен .
, в этом уравнении коэффициент и свободный член равны .

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

1. и .

Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

Выражение может быть как отрицательным, так и положительным.

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число.

Так что: если , то уравнение не имеет решений.

А если , то получаем два корня . Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше .

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5

Решите уравнение

Выразим

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6

Решите уравнение

Ответ:

Пример 7

Решите уравнение

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок – (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:

2. .

Вынесем общим множитель за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

Пример 8

Решите уравнение

Вынесем общий множитель за скобки:

Таким образом,

У этого уравнения два корня.

Ответ:

3. .

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:

где

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!

Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если , то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.

Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.

Алгоритм	Пример:
Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты и и свободный член .	, здесь
Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:
Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:

Если , то формула на шаге сократится до . Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
Если , то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге . Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней?

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.

График функции является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, .

А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось ).

Парабола может вообще не пересекать ось , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси ) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент . Если , то ветви параболы направлены вверх, а если – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

, а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ:

Пример 10

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

, а значит уравнение имеет один корень.

Ответ:

Пример 11

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Квадратные уравнения

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения образуют красивые кривые, такие как эта:

Имя

Название Quadratic происходит от «quad», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x ² ).

Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:

a , b и c — известные значения. a не может быть 0.

« x » — это переменная или неизвестно (мы ее еще не знаем).

Вот несколько примеров:

2x ² + 5x + 3 = 0		В этом a = 2 , b = 5 и c = 3

x ² — 3x = 0		Это немного сложнее: Где и ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x ²» б = −3 А где c ? Well c = 0 , поэтому не показан.
5x — 3 = 0		Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x ² (другими словами a = 0 , что означает, что он не может быть квадратичным)

Поиграйте с ним

Поиграйте с «Проводником квадратного уравнения», чтобы увидеть:

график, который он составляет, и
решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения — это

Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!

Например:

Скрытый		в стандартной форме	a, b и c
x ² = 3x — 1	Переместить все термины в левую часть	x ² — 3x + 1 = 0	а = 1, b = −3, c = 1
2 (w ² — 2w) = 5	Развернуть (снять скобки), и переместите 5 влево	2 Вт ² — 4 Вт — 5 = 0	a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3	Разверните и переместите 3 влево	z ² — z — 3 = 0	а = 1, b = -1, с = -3

Как их решить?

В « решениях » квадратного уравнения равно нулю .

Их также называют « корней », или иногда « нулей »

Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько разных способов найти решения:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто введите значения a, b и c и выполните вычисления.

Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b ² — 4ac) 2a

x = −b — √ (b ² — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но не всегда так получается!

Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
Или представьте, что кривая настолько высока , что даже не пересекает ось x!

Вот где нам помогает «Дискриминант» …

Дискриминант

Вы видите b ² — 4ac в приведенной выше формуле? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» возможные типы ответов:

при положительном значении b ² — 4ac получаем два Реальных решения
, когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто введите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x ² + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a

Вставьте a, b и c: x = −6 ± √ (6 ² — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: x = −6 ± √ (36 -20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

х = -0.2 или −1

Ответ: x = −0,2 или x = −1

И мы их видим на этом графике.

Чек -0,2 :		5 × ( −0,2 ) ² + 6 × ( −0,2 ) + 1 = 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1 = 0,2 — 1,2 + 1 = 0
Чек -1 :		5 × ( −1 ) ² + 6 × ( −1 ) + 1 = 5 × (1) + 6 × (-1) + 1 = 5–6 + 1 = 0

Вспоминая формулу

Добрый читатель предложил спеть это к «Pop Goes the Weasel»:

♫	«x равно минус b	♫	«Вокруг тутового куста
♫	*плюс или минус квадратный корень*	♫	Обезьяна погналась за лаской
	*в квадрате b минус четыре a c*		Обезьяна думала, что все было весело
	*ВСЕ более двух а «*		Поп! идет ласка »

Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a

«Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с четырьмя классными цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи. «

Комплексные решения?

Когда Дискриминант (значение b ² — 4ac ) отрицательный, мы получаем пару Комплексных решений … что это означает?

Это означает, что наш ответ будет включать мнимые числа. Вот Это Да!

Пример: Решить 5x ² + 2x + 1 = 0

Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² — 4ac = 2 ² — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = −2 ± √ (−16) 10

√ (-16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = −2 ± 4 и 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и

График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставим -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x ² — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² — 4ac = (−4) ² — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы получили комплексные числа.

НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x в 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Сводка

Квадратное уравнение в стандартной форме: ax ² + bx + c = 0
Квадратичные уравнения можно разложить на множители
Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2a
Когда дискриминант ( b ² −4ac ) равен:
- положительный, есть 2 реальных решения
- ноль, есть одно реальное решение
- негатив, есть 2 комплексных решения

,Решения

NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения

Вы можете выбрать главу 4 — Решения NCERT по квадратным уравнениям для PDF-файла по математике 10 класса для предстоящих экзаменов, а также найти решения всех глав по математике ниже.

Решения NCERT для математики 10 класса

Глава 4 Квадратное уравнение 10 класса разделена на пять разделов и четыре упражнения. Первый раздел — это введение без упражнений.Второй и третий разделы объясняют два важных свойства, тогда как четвертый и пятый разделы возвращаются к темам, изучаемым в классе 9.

Список упражнений и тем, которые они охватывают:

Путешествие от полинома к квадратному уравнению

Каждое квадратное уравнение является полиномом. (второй степени) равен нулю. То есть, когда полином наивысшего значения показателя степени, равного двум, равен нулю, он становится квадратным уравнением. Например, когда многочлен второй степени, такой как 2 \ [x ^ {2} \] + 3x + 4, равен нулю (т.е.{2} \] + 3x + 4 = 0) оно называется квадратным уравнением.

Слово квадратное уравнение представляет собой комбинацию слова квадрат, означающего квадрат, и «уравнение», которое имеет знак равенства (=). Следовательно, квадратное уравнение всегда имеет вторую степень, то есть показатель степени возведен в квадрат и всегда равен нулю. Стандартная форма квадратного уравнения:

Здесь a, b и c — действительные числа, а ‘a’ не может быть равным нулю

Решения квадратного уравнения

Значения переменной, удовлетворяющей квадратному уравнению: называются нулями или корнями квадратного уравнения.2} \] — 3x + 1 = 0. Если мы поместим значение x как 1, тогда все уравнение станет нулевым, что фактически равно значению в правой части, то есть LHS = RHS.

График

Если вы построите график квадратного уравнения, вы всегда получите кривую, которая дважды касается оси x, потому что переменная возведена в степень 2 (возведена в квадрат). Например, если мы нарисуем кривую x2-8x + 12 = 0, тогда кривая встретится с осью x в двух точках (2,0) и (6,0). Итак, 2 и 6 — корни квадратного уравнения.{2} \] + bx + c = 0. Позже Шридхарачарья (1025 г. н.э.) вывел формулу, известную теперь как квадратная формула (цитируемая Бхаскарой II) для решения квадратного уравнения методом завершения квадрата. Арабский математик Аль-Хорезми (около 800 г. н.э.) также изучал квадратные уравнения разных типов. Авраам бар Хийя Ха-Наси в своей книге «Liber embadorum», опубликованной в Европе в 1145 году н. Э., Дал полные решения различных квадратных уравнений.

Лучше знать решения, чем все вопросы — NCERT Solutions By Vedantu

NCERT Solutions Class 10 Maths Глава 4 Квадратичные уравнения

- Классы
  Класс 1-3
  Класс 4-5
  Класс 6-10
  Класс 11-12
- КОНКУРСНЫЙ ЭКЗАМЕН
  BNAT 000 NC
  000 NC Книги
  Книги NCERT для класса 5
  Книги NCERT для класса 6
  Книги NCERT для класса 7
  Книги NCERT для класса 8
  Книги NCERT для класса 9
  Книги NCERT для класса 10
  Книги NCERT для класса 11
  Книги NCERT для класса 12
  NCERT Exemplar
  NCERT Exemplar Class 8
  NCERT Exemplar Class 9
  NCERT Exemplar Class 10
  NCERT Exemplar Class 11
  9000 9000
  NCERT Exemplar Class
  Решения RS Aggarwal, класс 12
  Решения RS Aggarwal, класс 11
  Решения RS Aggarwal, класс 10
  90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
  Решения RS Aggarwal класса 8
  Решения RS Aggarwal класса 7
  Решения RS Aggarwal класса 6
  Решения RD Sharma
  RD Sharma Class 6 Решения
  Решения RD Sharma
  Решения RD Sharma класса 8
  Решения RD Sharma класса 9
  Решения RD Sharma класса 10
  Решения RD Sharma класса 11
  Решения RD Sharma класса 12
  PHYSICS
  Механика
  Оптика
  Термодинамика Электромагнетизм
  ХИМИЯ
  Органическая химия
  Неорганическая химия
  Периодическая таблица
  MATHS
  Теорема Пифагора
  0004
  000300030004
  Простые числа
  Взаимосвязи и функции
  Последовательности и серии
  Таблицы умножения
  Детерминанты и матрицы
  Прибыль и убыток
  Полиномиальные уравнения
  Деление фракций
  000
  000
  000
  000
  000
  000 Microology
  000
  000 Microology
  000 BIOG3000
  FORMULAS
  Математические формулы
  Алгебраические формулы
  Тригонометрические формулы
  Геометрические формулы
  КАЛЬКУЛЯТОРЫ
  Математические калькуляторы
  0003000 PBS4000
  000300030002 Примеры калькуляторов химии
  Класс 6
  Образцы бумаги CBSE для класса 7
  Образцы бумаги CBSE для класса 8
  Образцы бумаги CBSE для класса 9
  Образцы бумаги CBSE для класса 10
  Образцы бумаги CBSE для класса 11
  Образцы бумаги CBSE чел. для класса 12
  CBSE — вопросник за предыдущий год
  CBSE — вопросник за предыдущий год, класс 10
  CBSE — за предыдущий год — вопросник, класс 12
  HC Verma Solutions
  HC Verma Solutions Class 11 Physics
  Решения HC Verma, класс 12, физика
  Решения Лахмира Сингха
  Решения Лакмира Сингха, класс 9
  Решения Лакмира Сингха, класс 10
  Решения Лакмира Сингха, класс 8
  Заметки CBSE
  , класс
  CBSE Notes
  Примечания CBSE класса 7
  Примечания CBSE класса 8
  Примечания CBSE класса 9
  Примечания CBSE класса 10
  Примечания CBSE класса 11
  ,Квадратичная формула
  — вывод, решение и пример
  Классы
  Класс 1-3
  Класс 4-5
  Класс 6-10
  Класс 11-12
  КОНКУРСНЫЙ ЭКЗАМЕН
  BNAT 000 NC
  000 NC Книги
  Книги NCERT для класса 5
  Книги NCERT для класса 6
  Книги NCERT для класса 7
  Книги NCERT для класса 8
  Книги NCERT для класса 9
  Книги NCERT для класса 10
  Книги NCERT для класса 11
  Книги NCERT для класса 12
  NCERT Exemplar
  NCERT Exemplar Class 8
  NCERT Exemplar Class 9
  NCERT Exemplar Class 10
  NCERT Exemplar Class 11
  9000 9000
  NCERT Exemplar Class
  Решения RS Aggarwal, класс 12
  Решения RS Aggarwal, класс 11
  Решения RS Aggarwal, класс 10
  90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
  Решения RS Aggarwal класса 8
  Решения RS Aggarwal класса 7
  Решения RS Aggarwal класса 6
  Решения RD Sharma
  RD Sharma Class 6 Решения
  Решения RD Sharma
  Решения RD Sharma класса 8
  Решения RD Sharma класса 9
  Решения RD Sharma класса 10
  Решения RD Sharma класса 11
  Решения RD Sharma класса 12
  PHYSICS
  Механика
  Оптика
  Термодинамика Электромагнетизм
  ХИМИЯ
  Органическая химия
  Неорганическая химия
  Периодическая таблица
  MATHS
  Теорема Пифагора
  0004
  000300030004
  Простые числа
  Взаимосвязи и функции
  Последовательности и серии
  Таблицы умножения
  Детерминанты и матрицы
  Прибыль и убыток
  Полиномиальные уравнения
  Деление фракций
  000
  000
  000
  000
  000
  000 Microology
  000
  000 Microology
  000 BIOG3000
  FORMULAS
  Математические формулы
  Алгебраические формулы
  Тригонометрические формулы
  Геометрические формулы
  КАЛЬКУЛЯТОРЫ
  Математические калькуляторы
  0003000 PBS4000
  000300030002 Примеры калькуляторов химии
  Класс 6
  Образцы бумаги CBSE для класса 7
  Образцы бумаги CBSE для класса 8
  Образцы бумаги CBSE для класса 9
  Образцы бумаги CBSE для класса 10
  Образцы бумаги CBSE для класса 11
  Образцы бумаги CBSE чел. для класса 12
  CBSE — вопросник за предыдущий год
  CBSE — вопросник за предыдущий год, класс 10
  CBSE — за предыдущий год — вопросник, класс 12
  HC Verma Solutions
  HC Verma Solutions Class 11 Physics
  Решения HC Verma, класс 12, физика
  Решения Лакмира Сингха
  Решения Лакмира Сингха, класс 9
  Решения Лакмира Сингха, класс 10
  Решения Лакмира Сингха, класс 8
  Заметки CBSE
  , класс
  CBSE Notes
  Примечания CBSE класса 7
  Примечания CBSE класса 8
  Примечания CBSE класса 9
  Примечания CBSE класса 10
  Примечания CBSE класса 11
  Примечания CBSE класса 12
  Примечания к редакции CBSE
  Примечания к редакции
  CBSE
  Примечания к редакции класса 10 CBSE
  Примечания к редакции класса 11 CBSE 9000 4
  Примечания к редакции класса 12 CBSE
  Дополнительные вопросы CBSE
  Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
  Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
  Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
  Дополнительные вопросы по науке класса 9 CBSE
  Дополнительные вопросы по математике для класса 10
  Дополнительные вопросы по науке, класс 10 по CBSE
  CBSE, класс
  , класс 3
  , класс 4
  , класс 5
  , класс 6
  , класс 7
  , класс 8
  , класс 9 Класс 10
  Класс 11
  Класс 12
  Учебные решения
  Решения NCERT
  Решения NCERT для класса 11
  Решения NCERT для класса 11 по физике
  Решения NCERT для класса 11 Химия
  Решения для биологии класса 11
  Решения NCERT для математики класса 11
  9 0003 NCERT Solutions Class 11 Accountancy
  NCERT Solutions Class 11 Business Studies
  NCERT Solutions Class 11 Economics
  NCERT Solutions Class 11 Statistics
  NCERT Solutions Class 11 Commerce
  NCERT Solutions For Class 12
  NCERT Solutions For Класс 12 по физике
  Решения NCERT для химии класса 12
  Решения NCERT для класса 12 по биологии
  Решения NCERT для класса 12 по математике
  Решения NCERT Бухгалтерский учет 12 класса
  Решения NCERT Класс 12 Бизнес-исследования
  Решения NCERT, класс 12 Экономика
  NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
  NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
  NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
  NCERT Solutions Class 12 Commerce
  NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
  NCERT Solutions For Класс 4
  Решения NCERT для математики класса 4
  Решения NCERT для класса 4 EVS
  Решения NCERT для класса 5
  Решения NCERT для математики класса 5
  Решения NCERT для класса 5 EVS
  Решения NCERT для класса 6
  Решения NCERT для математики 6 класса
  Решения NCERT для науки 6 класса
  Решения NCERT для 6 класса социальных наук
  Решения NCERT для 6 класса Английский
  Решения NCERT для класса 7
  Решения NCERT для класса 7 Математика
  Решения NCERT для класса 7 Наука
  Решения NCERT для класса 7 по социальным наукам
  Решения NCERT для класса 7 Английский
  Решения NCERT для класса 8
  Решения NCERT для класса 8 Математика
  Решения NCERT для класса 8 Science
  Решения NCERT для класса 8 по социальным наукам
  Решение NCERT ns для класса 8 Английский
  Решения NCERT для класса 9
  Решения NCERT для социальных наук класса 9
  Решения NCERT для математики класса 9
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
  Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 2
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 3
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 4
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 5
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 6
  Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 7
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 8
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 9
  Решения NCERT
  для математики класса 9 Глава 10
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 11
  Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 12
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 13
  Решения
  NCERT для математики класса 9 Глава 14
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
  Решения NCERT для науки класса 9
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
  Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 4
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 5
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 6
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 7
  Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 8
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 9
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 10
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 12
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 11
  Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 13
  Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 14
  Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
  Решения NCERT для класса 10
  Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
  Решения NCERT для математики 10 класса
  Решения NCERT для класса 10 по математике Глава 1
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 3
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 5
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 6
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 8
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 9
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 10
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 11
  Решения NCERT по математике класса 10 Глава 12
  Решения NCERT по математике класса 10 Глава 13
  NCERT Sol
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
  Решения NCERT для науки 10 класса
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 3
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 4
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 5
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 6
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 7
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 8
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 9
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 10
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 11
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 12
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 13
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 14
  Решения NCERT для науки класса 10 Глава 15
  Решения NCERT
  для науки класса 10 Глава 16
  Учебный план NCERT
  NCERT
  Commerce
  Class 11 Commerce Syllabus
  ancy Class
  Программа обучения бизнесу 11 класса
  Программа курса экономики 11 класса
  Программа обучения 12 класса
  Программа обучения 12 класса
  Программа обучения бизнесу 12 класса
  Программа курса 12 класса 9000 9000
  Образцы документов по коммерции класса 11
  Образцы документов класса 12
  TS Grewal Solutions
  TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
  TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
  Отчет о движении денежных средств
  Что такое Entry eurship
  Защита прав потребителей
  Что такое основной актив
  Что такое баланс
  Формат баланса
  Что такое акции
  Разница между продажей и маркетингом
  ICSE
  Документы ICSE
  Вопросы ICSE
  ML Aggarwal Solutions
  ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths
  ML 6 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 6 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class
  Selina Solutions
  Selina Solutions для класса 8
  Selina Solutions для Class 10
  Selina Solutions для Class 9
  Frank Solutions
  Frank Solutions для математики класса 10
  Frank Solutions для математики класса 9
  Класс ICSE 9000 2
  ICSE Class 6
  ICSE Class 7
  ICSE Class 8
  ICSE Class 9
  ICSE Class 10
  ISC Class 11
  ISC Class 12
  IAS
  Exam
  IAS
  Civil
  Сервисный экзамен
  Учебный план UPSC
  Бесплатная подготовка к IAS
  Текущие события
  Список статей IAS
  Пробный тест IAS 2019
  Пробный тест IAS 2019 1
  Пробный тест IAS 2019 2
  
  Экзамен KPSC KAS
  Экзамен UPPSC PCS
  Экзамен MPSC
  Экзамен RPSC RAS 
  TNPSC Group 1
  APPSC Group 1
  Экзамен BPSC
  WBPS3000 Экзамен 9000 9000 MPC4000
  Вопросник UPSC 2019
  Ключ ответов UPSC 2019
  Коучинг IAS
  IA S Coaching Бангалор
  IAS Coaching Дели
  IAS Coaching Ченнаи
  IAS Coaching Хайдарабад
  IAS Coaching Mumbai
  JEE
  BYJU’SEE
  9000 JEE 9000 Основной документ 9000 JEE 9000 JEE 9000 JEE 9000
  Вопросник JEE
  Биномиальная теорема
  Статьи JEE
  Квадратичное уравнение
  NEET
  Программа BYJU NEET
  NEET 2020
  NEET Приемлемость 9000 Критерии 9000 NEET4 9000 Пример 9000 NEET 9000 9000 NEET
  Поддержка
  Разрешение жалоб
  Служба поддержки клиентов
  Центр поддержки
  Государственные советы
  GSEB
  GSEB Syllabus
  GSEB3
  GSEBE
  GSEBE
  004
  MSBSHSE
  MSBSHSE Syllabus
  MSBSHSE Учебники
  Образцы статей MSBSHSE
  Вопросники MSBSHSE
  AP Board
  APSCERT3 AP 9000 Syll
  AP
  9000 Syll
  AP 9000 Syll 9000SC4 9000 Syll
  9000 Syll
  Syll
  MP Board
  MP Board Syllabus
  MP Board Образцы документов
  Учебники MP Board
  Assam Board
  Assam Board Syllabus
  Assam Board
  9000 Board 9000 Board 9000 Учебники 9000 Board4 BSEB
  Bihar Board Syllabus
  Bihar Board Учебники
  Bihar Board Question Papers
  Bihar Board Model Papers
  BSE Odisha
  Odisha Board Syllabus
  Odisha Board Syllabus
  Программа PSEB
  Учебники PSEB
  Вопросы PSEB
  RBSE
  Rajasthan Board Syllabus
  RBSE Учебники
  RBSE Учебники
  HPBOSE9
  HPBOSE9 Syllab
  000 HPBOSE
  JKBOSE
  Программа обучения JKBOSE
  Образцы документов JKBOSE
  Шаблон экзамена JKBOSE
  TN Board
  TN Board Syllabus
  TN Board 9000 9000 документов 9000 TN Board 9000 документов 9000 документов
  JAC
  Программа JAC
  Учебники JAC
  Вопросники JAC
  Telangana Board
  Telangana Board Syllabus
  Telangana Board Учебники
  Papers Telangana Board Учебники
  Учебный план KSEEB
  Типовой вопросник KSEEB
  KBPE
  Учебный план KBPE
  Учебники KBPE
  Документы с вопросами KBPE
  9000 Доска UPMS3 9000 Доска UPMSP 9000 UP4
  Совет по Западной Бенгалии
  Учебный план Совета по Западной Бенгалии
  Учебники для Совета по Западной Бенгалии
  Вопросы для Совета по Западной Бенгалии
  UBSE
  TBSE
  Гоа Совет
  000
  NBSE000
  Mega Доска
  Manipur Board
  Haryana Board
  Государственные экзамены
  Банковские экзамены
  Экзамены SBI
  Экзамены IBPS
  Экзамены RBI
  IBPS
  03
  Экзамен 9SC 9SC2
  SSC GD
  SSC CPO 900 04
  SSC CHSL
  SSC CGL
  Экзамены RRB
  RRB JE
  RRB NTPC
  RRB ALP
  O Экзамены на страхование
  LIC4
  LIC4
  UPSC CAPF
  Список статей государственных экзаменов
  Обучение детей
  Класс 1
  Класс 2
  Класс 3
  
  ,

Квадратные уравнения решение скачать: Квадратные уравнения + решение v.1.2 скачать для андройд

Решение квадратных уравнений

Дискриминант

Корни квадратного уравнения

Неполные квадратные уравнения

Решение квадратных уравнений cкачать на Windows бесплатно

Характеристики

Описание

Скриншоты

Добавить программу

Спасибо за помощь!

Тренажёр по алгебре (8 класс) на тему: Неполные квадратные уравнения

Проект » Квадратные уравнения»

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Проект для НПК учащихся 8 класса «10 способов решения квадратных уравнений»

Решение квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение?

Сначала научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет

Проверь ответы

Два вида квадратных уравний — полные и неполные

Полные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Решение полных квадратных уравнений

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Квадратные уравнения

Имя

Стандартная форма

Поиграйте с ним

Скрытые квадратные уравнения!

Как их решить?

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Дискриминант

Использование квадратичной формулы

Пример: Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

Вспоминая формулу

Комплексные решения?

Пример: Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

Пример: Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

Сводка

NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения

NCERT Solutions Class 10 Maths Глава 4 Квадратичные уравнения

— вывод, решение и пример

03 Экзамен 9SC 9SC2 SSC GD SSC CPO 900 04 SSC CHSL SSC CGL

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики

Пример: Решить 5x ² + 6x + 1 = 0

Пример: Решить 5x ² + 2x + 1 = 0

Пример: Решить x ² — 4x + 6,25 = 0

03
Экзамен 9SC 9SC2
SSC GD
SSC CPO 900 04
SSC CHSL
SSC CGL