Квадратные уравнения решение скачать: Квадратные уравнения (решение) для Андроид

Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Квадратные  уравнения 8 класс  алгебра

 

Учитель: Федулкина Т.А.

 

• Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax²+bx+c=0,где a≠0, где x — переменная,  a,b,c — числовые коэффициенты.

 

Пример полного квадратного уравнения:

3x²-3x+2=0
x²-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:  D=b²-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень 

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

№1  x²-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x², коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b²-4ac=(-1)²-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

 Ответ: x₁=3; x₂=-2

№2  x²+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b²-4ac=(2)²-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

№3 7x²-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b²-4ac=(-1)²-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x²-8x=0, 5x²+4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax²+bx=0  x(ax+b)=0  x₁=0 x₂=-b/a

№1  3x²+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0      3x+6=0   3x=-6     x₂=-2

Ответ: x₁=0; x₂=-2

№2  x²-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0
x₂=1

Ответ: x₁=0; x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x²=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1  x²+5=0
x²=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

№2 3x²-12=0
3x²=12
x²=12/3
x²=4
x₁=2

x₂=-2

Ответ: x₁=2; x₂=-2

 

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс  алгебра.

 

Задания для  устного решения:

 

1. Решите неполное квадратное уравнение:

 

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

2. Решите квадратное уравнение, используя теорему Виета:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

3. Решите квадратное уравнение, используя формулу :

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

4. Найдите дискриминант квадратного уравнения по формуле D= :

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 

5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D= равно:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

3)Решить  квадратные  уравнения:

 

6. Решите квадратное уравнение:

1)	6)	11)	16)
2)	7)	12)	17)
3)	8)	13)	18)
4)	9)	14)	19)
5)	10)	15)	20)

 скачать файл

Дата публикации — 03. 12.2017

Презентация «Решение квадратных уравнений» — математика, презентации

« Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешил проблем».

(английский поэт средних веков Чосер)

«Решение квадратных уравнений»

ах-1=6 x 2 – x = 0

x 2 – 9x + 20 = 0

x 2 – 14x + 16 = 0 x 2 – 16 = 0

9x 2 – 6x +10 = 0

Карта результативности

Ф.И.

Устная работа

Количество

баллов

Узнай слово

Немного истории

Творческое задание

Самостоятельная работа

Итого

Уравнение какого вида называется квадратным?

Уравнение вида

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0 ,

а, b, с-числа, х- переменная,

называется квадратным уравнением.

По какой формуле вычисляется дискриминант квадратного уравнения ( для общего случая)

D = b 2 – 4ac

От чего зависит число корней квадратного уравнения?

от дискриминанта

Назовите виды квадратных уравнений

Какие квадратные уравнения называются неполными?

• Квадратные уравнения называются неполными , если один из коэффициентов b или с равен нулю.

Перечислите методы решения неполных квадратных уравнений

Какие квадратные уравнения называются приведёнными?

Квадратные уравнения называются приведёнными, если коэффициент

а =1.

По какой теореме можно решить приведённые квадратные уравнения?

По теореме, обратной теореме Виета.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0.

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = — p

.

По какой формуле находятся корни квадратного уравнения?

УЗНАЙ СЛОВО

Даю три определения этому предмету:

1.Непроизвольная основа слова.

2.Число, которое после постановки его в уравнение обращает уравнение в тождество.

3.Один из основных органов растений.

Вы должны определить, какого растения этот корень, решив следующие уравнения. 2 + 4х + 20 = 0

Найдите карточку со своим ответом и составьте слово.

Корней нет А

3;5 Р

6;-1 З

2;9 0

1

2

3;5

3

Р

2;9

4

6;- 1

0

Корней нет

З

А

О розе народе говорят: “Цветы ангельские, а когти дьявольские” . О розе существует интересная легенда: по словам древнегреческого лирического поэта Анакреона, родилась роза из белоснежной пены, покрывающей тело Афродиты, когда богиня любви выходила из моря. Поначалу роза была белой, но от капельки крови богини, уколовшейся о шип, стала алой.

Цветы, как люди, на добро щедры.

И щедро нежность людям

Отдавая,

Они цветут, сердца отогревая,

Как маленькие теплые костры.

Немного истории Решить уравнения и узнать фамилию учёного, который ввёл понятие дискриминант (Дифференцированные задания)

1)-5х 2 – 4х + 28 = 0

2)х + 5х 2 = 6

3)2х — 5х 2 = 0

4) х 2 +9х+18=0

5)- 5х + 3х 2 = — 2

6)7х 2 — 49=0

7) х 2 -9х+14=0

8)6х 2 – 4х — 32 = 0

9) Если число 11 корень уравнения

х 2 -13х+q=0, то значение q равно …

2;

7

1; 2/3

С

0; 0,4

В

-2,8; 2

Л

Нет кор-ней

С

И

-6;

-3

+√7

— √7

Ь

-2; 8/3

Е

22

Т

Р

1

2

-2,8;

2

3

С

Нет кор-ней

4

И

0; 0,4

5

Л

-6;

-3

Ь

1;

2/3

6

В

7

+√7

— √7

2;

7

8

Е

-2; 8/3

9

С

22

Т

Р

Сильвестр – английский учёный.

Называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов.

Джеймс Джозеф Сильвестр

• Джеймс Джозеф Сильвестр , английский математик, родился 3 сентября 1814 года в Лондоне Основные работы его касались алгебры, теории чисел, теории вероятностей, механики и математической физики.
• Сильвестр начал изучать математику в Сент-Джон-коллежде Кембриджского университета в 1831 году. Его учёба прерывалась длительными болезнями, но в итоге он занял второе место на выпускном экзамене по математике в 1837 году. Однако он не получил степени бакалавра, так как для этого требовалось подтвердить свое согласие с догматами англиканского вероисповедания, что Сильвестр отказался сделать. Сильвестр – английский учёный.
• Называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов.
• В 1841 году он получил степень бакалавра и магистра в Тринити-колледже в Дублине. В том же году он переехал в США чтобы стать профессором в университете Вирджинии, но вскоре вернулся в Англию. 2+9х+14 = 0

Кроссворд

• 1. От чего зависит число корней квадратного уравнения.
• 2. Квадратное уравнение, в котором в = 0 или с = 0….
• по горизонтали:
• 3. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1;
• 4. Число корней при Д = 0;
• 5.Число корней при Д
• 6. Число корней при Д 0;
• 7. Имя учёного, доказавшего теорему о свойстве корней квадратного уравнения

Домашнее задание

Повторить:

• формулы корней квадратного уравнения теорему Виета
• формулы корней квадратного уравнения
• теорему Виета

№ 470(2,4,6)

‎App Store: Photomath

Научитесь решать математические задачи, проверять домашние задания и готовиться к предстоящим экзаменам и экзаменам ACT / SAT с помощью самого популярного в мире учебного ресурса по математике. Более 100 миллионов загрузок и миллиарды решенных задач каждый месяц! Photomath является БЕСПЛАТНЫМ и работает без Wi-Fi.

КАК ЭТО РАБОТАЕТ
С помощью камеры своего устройства мгновенно отсканируйте печатный текст И рукописные математические задачи или введите и отредактируйте уравнения в нашем научном калькуляторе. Каждую математическую задачу Photomath разбивает на простые, понятные шаги, чтобы Вы могли хорошо понять основные концепции и уверенно отвечать на вопросы.

КЛЮЧЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ
Сканирование (печатного) учебника И рукописных задач
Научный калькулятор
Пошаговые объяснения для каждого решения
Несколько методов решения
Для использования не требуется подключение к Интернету
Поддержка более 30 языков
Интерактивные графики

МАТЕМИЧЕСКИЕ ТЕМЫ
Базовая математика / начала алгебры: арифметика, целые числа, дроби, десятичные числа, степени, корни, факторы
Алгебра: линейные уравнения / неравенства, квадратные уравнения, системы уравнений, логарифмы, функции, матрицы, графики, полиномы

Тригонометрия / начала математического анализа: тождества, конические сечения, векторы, матрицы, комплексные числа, последовательности и ряды, логарифмические функции
Исчисления (математический анализ): пределы, производные, интегралы, построение кривых
Статистика: комбинации, факториалы

Наша собственная команда ветеранов преподавателей математики также сотрудничает с учителями по всему миру, что дает возможность гарантировать использование наиболее эффективных методик обучения в наших математических системах.

Представлено в Huffington Post, Forbes, TIME, CNN, EdSurge, Guiding Tech, The Verge, TechCrunch и других.

Предложения, комментарии или вопросы? Напишите нам по адресу [email protected]

Подписывайтесь на нас!
Facebook: facebook.com/Photomathapp
Twitter: @Photomath

Photomath есть и всегда будет бесплатным, но Вы можете улучшить свое обучение, перейдя на Photomath Plus. Photomath Plus предлагает решения для всех задач и примеров из учебников! В настоящее время предложение действительно только для США и для конкретных учебников.

Оплата будет снята с Вашей учетной записи Apple ID при подтверждении покупки. Подписка продлевается автоматически, если она не отменена как минимум за 24 часа до окончания текущего периода. За 24 часа до окончания текущего периода с Вашего счета будет снята плата за продление. Вы можете управлять своими подписками и отменять их, перейдя в настройки своей учетной записи в App Store после покупки. Предложения и цены могут быть изменены без предварительного уведомления.

Дополнительная информация:
Условия использования: https://photomath.net/en/termsofuse
Политика конфиденциальности: https://photomath.net/en/privacypolicy

Презентация «Формула решения квадратных уравнений» по математике – проект, доклад

Слайд 1

Материал к урокам алгебры в 8 классе по теме:

Квадратные уравнения. Их решение по формуле.

5klass.net

Слайд 2

Вступление.

Данная работа может быть использована на обобщающем уроке по теме «Решение квадратных уравнений»с целью повторения и обобщения изученного материала Отдельные части работы могут быть использованы и на обучающих уроках или во внеклассной работе с целью ознакомления с дополнительными сведениями.

Слайд 3

Содержание:

Теоретический материал Примеры решения квадратных уравнений по формуле Проверим знания (тест) Кроссворд Это интересно (дополнительные сведения о решении квадратных уравнений) Из истории решения квадратных уравнений Проверь себя (решение квадратного уравнения при помощи языка программирования) Использованная литература

Слайд 4

Теоретические сведения

Определение квадратного уравнения Примеры квадратных уравнений. Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле

Слайд 5

Определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+вх+с=0, где х – переменная, а,в,с – некоторые числа, причем а≠0. Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член. Если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Квадратное уравнение, в котором коэффициент а=1 называется приведенным квадратным уравнением.

Слайд 6

Примеры квадратных уравнений:

Например: а) –х²+6х+1,2=0, где а=-1, в=6, с=1,2; б) 5х²-2=0 – неполное квадратное уравнение, где а=5, в=0, с=-2; в) -3х²+7х=0 — неполное квадратное уравнение, где а=-3, в=7, с=0; г) 7х²=0 — неполное квадратное уравнение, где а=7, в=0, с=0; д) х²+4х-12=0 – приведенное квадратное уравнение, где а=1, в=4, с=-12.

Слайд 7

Алгоритм решения квадратного уравнения:

ах²+вх+с=0

Определить коэффициенты а,в,с

Если DВычислить дискриминант D=в²-4ас Если D=0, то 2 корня Если D>0, то 1 корень

Уравнение не имеет корней

Слайд 8

Примеры решения квадратных уравнений по формуле

Пример1: 3х²+11х+6=0 а=3; в=11;с=6. D=11²-4*3*6=121-72=49>0 – уравнение имеет 2 корня

Слайд 9

Примеры решения квадратных уравнений по формуле:

Пример2. 9х²-6х+1=0 а=9; в=-11;с=1. D=(-6)²-4*9*1=36-36=0=0 – уравнение имеет 1 корень. Х=

Слайд 10

Пример 3: -2х²+3х-5=0 а=-2; в=3;с=-5. D=3²-4*(-2)*5=9-40=-31

Слайд 11

Тест

Тест 1. Установить, истинны или ложны утверждения. Тест 2. Установить верный ответ из числа предложенных.

Слайд 12

Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения :

Ответы давать : да или нет. Время для выполнения – 10 минут. Указание: не выполнять задания 8 и 9. Текст теста:

Слайд 13

Тест 2. Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов:

Время для выполнения – 15 минут. Указание: не выполнять задания 6 и 7. Текст теста:

Слайд 14

Кроссворд

1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1. 3. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0. 10. «Дискриминант» — по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме.

Слайд 15

Это интересно (дополнительные сведения о нахождении корней квадратного уравнения в особых случаях):

1 случай. Если a+b+c=0, то х1=1; х2= с/а 2 случай. Если a-b+c=0, то х1=-1; х2= -с/а Нахождение корней приведенного квадратного уравнения: х²+px+q=0. здесь полезно воспользоваться формулой: Формула запоминается надолго, если выучить ее в стихотворной форме:

Слайд 16

Стихотворение для запоминания формулы

«Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минут-плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

Слайд 17

Из истории решения квадратных уравнений.

Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Например.

Слайд 18

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации. См.подробнее.

Слайд 19

Вывод формулы корней квадратного уравнения ал-Хорезми:

Суть его рассуждений видна из рисунка (рассматривается решение уравнения х²+10х=39. Площадь большого квадрата равна (х+5)². Она складывается из площади х²+10х фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом, (х+5)²=39+25; х1=3; х2=-13.

х² 5х/2

Слайд 20

Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»(примерно II в.до н.э.)

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу(1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Решение смотри здесь:

Слайд 21

Решение задачи о границах города:

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников BED и ABC (см.рис.) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d. Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х2+(k+l)-2kd=0. В данном случае уравнение имеет вид х2+34х-71000=0, откуда х=25000 бу. Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

l

Слайд 22

Проверь себя ( решение задачи при помощи языка программирования):

Программа, позволяющая решать квадратные уравнения (язык Turbo Pascal)

Слайд 23

Использованная литература:

Алтынов П.А. Тесты. Алгебра.7-9 – Москва, «Дрофа», 2002 год Макарычев Ю.Н. Алгебра, 8 класс – Москва, «Просвещение», 2000 год Ткачева М.В. Домашняя математика, 8 класс- Москва, «Просвещение», 1996 год Худадатова С.С. Математика в ребусах, кроссвордах – Москва, «Школьная Пресса», 2003 год Энциклопедический словарь юного математика –Москва, «Педагогика», 1985 год Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» — Москва, АСТ, 1996 год.

Слайд 24

Брахмагупт(около 598-660 г.г.)

Индийский математик и астроном. Основное сочинение «Усовершенствованное учение Брахмы» («Брахмаспхутасиддханта», 628 г. ), значительная часть которого посвящена арифметике и алгебре. Брахмагупта , изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Слайд 25

Диофант Александрийский (около 3 в.).

Древнегреческий математик. В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13), дал решение задач, приводящихся к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

Слайд 26

Евклид (3 в. До н.э.)

Древнегреческий математик, работал в Александрии. Лавный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

Слайд 27

Аль-Хорезми.

Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма — с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов — Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида). Главная книга Хорезми названа скромно: «Учение о переносах и сокращениях», то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит «Ильм аль-джебр ва»ль-мукабала»; отсюда произошло наше слово «алгебра». Другое известное слово — «алгоритм», то есть четкое правило решения задач определенного типа — произошло от прозвания «аль-Хорезми». Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем — это «синус», хотя в этом деле не обошлось без курьеза. В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2. Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно,не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Слайд 28

Ответы к кроссворду:

1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

Слайд 29

Ответы к тесту 1.

Вариант 1. 1,2,3,4,10-да; 5,6,7 – нет. Вариант 2. 1,3,4,10 – да; 2,5,6,7 — нет

Слайд 30

Ответ к тесту 2.

Вариант 1. 1 -г , 2-г , 3 — г, 4 -б , 5 -г . Вариант 2. 1 — в, 2- б , 3 — в, 4 — б, 5 — б .

9Г

Страница обновлена 14.05.2020

№ п/п	Предмет (учитель)	Тема	Задание на урок	Ссылка на ресурс	Форма контроля	Сроки сдачи
1
1
2	Алгебра (Яковлева Евгения Евгеньевна)	Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Исследование корней квадратного уравнения.	Решить задачи по теме «Линейные уравнения. Квадратные уравнения.	https://yakovleva—evgeniya.okis.ru/algebra-9-klass ( скачать файл «Линейные уравнения. Квадратные уравнения.»)	Прислать решение номеров  на электронную почту [email protected]	16.05 20:00
3	Геометрия (Яковлева Евгения Евгеньевна)	Подготовка к ОГЭ. Разбор задания №24 « Задачи на вычисления»	Решить задачи с карточки, согласно своему варианту	https://yakovleva—evgeniya.okis.ru/geometriia-9-klass ( Скачать файл «Задание №24»	Прислать решение номеров  на электронную почту [email protected]	17.05
4
5
6
6
6
7

Презентация — Решение квадратных уравнений

Слайд №2
	Какое уравнение называется квадратным? Формула для вычисления дискриминанта. Формулы для нахождения корней. Определение неполного квадратного уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Теорема Виета . Корни квадратного уравнения для чётного b. Особые случаи. Проверь себя. Старинная индийская задача
Слайд №3
	Определение: Квадратное уравнение — это уравнение вида aх2+ bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ? 0. Квадратные уравнения можно условно разделить на три класса: Не имеют корней; Имеют ровно один корень; Имеют два различных корня.
Слайд №4
	Дискриминант D = b2? 4ac. Если D 0, корней будет два.
Слайд №5
	Корни квадратного уравнения
Слайд №6
	Неполные квадратные уравнения Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т. е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Слайд №7
	Решение неполных квадратных уравнений
Слайд №8
	Теорема Виета ax2+bx+c=0 Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Слайд №9
	Корни квадратного уравнения для чётного b ax2+2kx+c=0
Слайд №10
	Особые случаи: ax2+bx+c=0 если a+b+c = 0, то х1 = 1, а х2 =c/a . ax2+bx+c=0 если a + c = b , то х1 = – 1, а х2 =-c/a.
Слайд №11
	Сколько корней имеют квадратные уравнения: x2 ? 8x + 12 = 0; 5×2 + 3x + 7 = 0; x2 ? 6x + 9 = 0.
Слайд №12
	Решение Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:a = 1, b = ?8, c = 12;D = (?8)2 ? 4 · 1 · 12 = 64 ? 48 = 16 Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 ? 4 · 5 · 7 = 9 ? 140 = ?131. Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:a = 1; b = ?6; c = 9;D = (?6)2 ? 4 · 1 · 9 = 36 ? 36 = 0. Дискриминант равен нулю — корень будет один. Ответ1) 2 корня; 2) нет корней; 3) один корень.
Слайд №13
	Решить квадратные уравнения: а)x2 ? 2x ? 3 = 0; б)15 ? 2x ? x2 = 0; в) x2 + 12x + 36 = 0.
Слайд №14
	Решение
Слайд №15
	Решение:
Слайд №16
	Решение:
Слайд №17
	Решить неполные квадратные уравнения: а)x2 ? 7x = 0; б)5×2 + 30 = 0; в)4×2 ? 9 = 0.
Слайд №18
	Решение: а)x2 ? 7x = 0 ? x · (x ? 7) = 0 ? x1 = 0; x2 = ?(?7)/1 = 7. б)5×2 + 30 = 0 ? 5×2 = ?30 ? x2 = ?6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу. в)4×2 ? 9 = 0 ? 4×2 = 9 ? x2 = 9/4 ? x1 = 3/2 = 1,5; x2 = ?1,5. Ответ: а) x1 = 0; x2 = 7; б) корней нет; в) x1 = 1,5; x2 = 1,5.
Слайд №19
	Решите уравнения 2х?-5х+3=0 4х?+7х+3=0 3х?+4х-7=0 2х?-5х-7=0 -9х?+8х+1=0 -3х?+5х+8=0
Слайд №20
	Таблица для первой группы а в с а+в+с 2 -5 3 2-5+3=0 1 3 4 -7 3+4-7=0 1 -9 8 1 -9+8+1=0 1
Слайд №21
	Таблица для второй группы а в с а+в+с 4 7 3 4+3=7 -1 2 -5 -7 2-7+-5 -1 -3 5 8 -3+8=-5 -1
Слайд №22
	Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько было обезьянок Ты скажи мне, в этой стае?.
Слайд №23
	Решение задачи Бхаскары
Слайд №24
	Успехов вам при решении квадратных уравнений

Урок обобщающего повторения «Решение квадратных уравнений»

Текст этой презентации

Слайд 1

Тема «Решение квадратных уравнений»
Урок обобщающего повторения 8 класс

Слайд 2

Цели и задачи урока:
обобщение, систематизация и углубление знаний учащихся по изучаемой теме; способствовать формированию умений применять разные способы решения уравнений; развивать творческие способности учеников путем решения уравнений с параметром и задач на составление уравнений; побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Слайд 3

Критерии успеха:
Уметь классифицировать уравнения; Решать простейшие приведенные квадратные уравнений; Решать квадратные уравнения по формулам; Решать задачи с использованием квадратных уравнений.

Слайд 4

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» М.В.Ломоносов.
Величие человека – в его способности мыслить Б.Паскаль

Слайд 5

Квадратные уравнения зародились очень давно. И их изучали во многих странах: 1)Вавилон 2)Индия 3)Азия 4)Европа

Слайд 6

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Диофант – жил предположительно в III веке н. э. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Слайд 7

Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax² + bх = с, а> 0. (1)

Слайд 8

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
«Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».
«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Слайд 9

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми
Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах² = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах² = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах² + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах² + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах².
Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Слайд 10

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.
Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв.

Слайд 11

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x² + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.

Слайд 12

Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Слайд 13

Пример 1
Пример 2
х (х + 3) = 2х, х + 3 = 2, х = — 1 Ответ: х = — 1
х² + х – 1 = 4х – 3, х² – 3х + 2 = 0, х = 1 или х = 2. Ответ: х = 1, х = 2

Слайд 14

Задание 1. Провести классификацию уравнений по виду.
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

Слайд 15

Схема 1. Классификация уравнений по виду
Виды уравнений
Линейные уравнения ах = в
Квадратные уравнения ах2 + вх + с = 0, а ≠ 0
Полные ах2 + вх + с = 0, а ≠ 0 в ≠ 0, с ≠ 0
Неполные, приводимые к виду
Приведенные х2 + рх + q = 0, а = 1
ах2 + с = 0, в = 0
ах2 + вх = 0, с = 0
ах2 = 0, в = 0, с = 0

Слайд 16

Проверка
Вариант I
Вариант I I
1. 3; -4 2. 7 3. ±2√3 4. -6 5. нет корней 6. 0 7. 1; 3 8. нет корней 9. нет корней 10. 0 11. 0; 1 12. нет корней 13. 0; 3; 7 14. 9
1. 2500 2. нет корней 3. 11 4. нет корней 5. -7; -3 6. 1; 2 7. 2 8. 0 9. нет корней 10. 0; 5 11. нет корней 12. ±√11 13. ±9; 1/2 14. 20

Слайд 17

Схема 2. Связь между корнями квадратных уравнений и их коэффициентами.
ах² + с = 0 (в = 0)
ах² +вх = 0 (с = 0)
ах² = 0 (в =0, с = 0)
Два корня
Один корень
Нет корней
х = ±√(-с/а)
х = 0
х = 0, х = -в/а
Если а сЕсли ас>0

Слайд 18

За 1 мин. решить максимальное количество уравнений. Каждое верно решенное уравнение соответствует 1 баллу.

Слайд 19

Ответы: 3;4; 2) 1;10; 3) 3;7; 4) 1;4; 5) –2;-3; 6) –3;-4; 7) –10;-2; 8) –7;-6; 9) –3;2; 10) –4;3; 11) –1;6; 12) –1;7; 13) –6;1; 14) –3;5; 15) 2; 16) –3; 17) 2;4; 18) 3;5; 19) 4;9; 20) –7;-3.

Слайд 20

Задача1. Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найдите коэффициент к и второй корень уравнения х2 – 5х + к = 0. Задача №208 стр. 68 из учебника. В чемпионате команды встречались со всеми другими по одному разу. Сколько было команд, если они провели 156 встреч?

Слайд 21

Разгадка к ребусам – ответы на вопросы: 1. Какой математик доказал теорему, выражающую связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями? 2. Что надо искать прежде, чем корни квадратного уравнения? 3. Какой математик однажды заметил что: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному»?

Слайд 22

Домашнее задание. Подготовить одну или несколько задач , показывающих, что квадратные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций. Составить ребусы или кроссворд по теме «Квадратные уравнения».

Слайд 23

Подведение итогов урока. Рефлексия деятельности.

Слайд 24

Барометр настроения
Поставь крестик, как ты провел урок:

Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения

Решения NCERT для класса 10 по математике Глава 4

Класс: 10	Математика (средний английский и хинди)
Квадратичные уравнения

10-я математика Глава 4 Решения

NCERT Решения для 10-го класса математики Глава 4 приведены ниже в формате PDF или доступны для просмотра в Интернете. Решения на хинди и английском языке.Студенты штата Уттар-Прадеш также могут загрузить UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 здесь, на хинди Medium. Очень важно изучать квадратные уравнения, потому что они имеют широкое применение в других областях математики, физики, в других предметах, а также в реальных жизненных ситуациях. Загрузите книги NCERT 2020-21, справочники и решения по приведенным ниже ссылкам.

• 10-я математика, глава 4, упражнение 4.1

• 10-я математика, глава 4, упражнение 4.2

• 10-я математика Глава 4 Упражнение 4.3

• 10-я математика Глава 4 Упражнение 4.4

Математика 10-го класса Глава 4 Упражнение 4.1 Решения в видео

Математика 10-го класса Упражнение 4.1 Решение на хинди Математика для класса 10 Глава 4 Упражнение 4.1 Решение

Математика для класса 10 Глава 4 Упражнение 4.2. Решения в видео

Математика для класса 10 Упражнение 4.2 Решение на хинди Математика 10 класса Глава 4 Упражнение 4.2 Решение

Математика 10 класса Глава 4 Упражнение 4.3 Решения в видео

Математика 10 класса Упражнение 4.3 Решение на хинди Математика 10 класса Глава 4 Упражнение 4. 3 Решение

Математика класса 10 Глава 4 Упражнение 4.4 Решения в видео

Математика 10 класса Упражнение 4.4 Решение на хинди Математика 10 класса Глава 4 Упражнение 4.4 Решение

NCERT Решения для математики класса 10 Глава 4

Чем отличается квадратичный многочлен из квадратного уравнения?

Многочлен второй степени называется квадратичным многочленом.2 bx + c = 0, a> 0, где a, b, c — константы, а x — переменная, называется квадратным уравнением в стандартной форме.

Что означают нули в квадратном уравнении?

Ноль полинома — это действительное число, которое при замене переменной делает значение полинома нулем. В случае квадратного уравнения значение переменной, для которой LHS и RHS уравнения становятся равными, называется корнем или решением квадратного уравнения. Существует три алгебраических метода нахождения решения квадратного уравнения.Это (i) факторный метод (ii) завершение метода квадратов и (iii) использование квадратичной формулы.

Вопросы CBSE за предыдущий год

1. Вопросы с двумя оценками
   Найдите корни квадратного уравнения √2 x² + 7x + 5√2 = 0. [CBSE 2017] 2. Найдите значение k, для которого уравнение x² + k (2x + k — 1) + 2 = 0 имеет действительные и равные корни. [CBSE 2017]
2. Вопросы с тремя оценками
   Если уравнение (1 + м²) x² + 2mcx + c² — a² = 0 имеет равные корни, то покажите, что c² = a² (1 + м²).
3. . Вопросы с четырьмя баллами
   Скорость лодки на стоячей воде 15 км / ч. Он идет вверх на 30 км и возвращается в том же месте через 4 часа 30 минут. Найдите скорость потока. [CBSE 2017]

ИСТОРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ!

Слово «квадратичный» происходит от латинского слова «Quadratum», что означает «квадратная фигура». 2 — 12x — 13x + 156 = 0
⇒ x (x — 12) — 13 (x — 12) = 0
⇒ (x — 12) (x — 13) = 0
⇒ (x — 12) = 0 или (x — 13) = 0
Либо x = 12, либо x = 13
Если x = 12
, то оценки по математике = 12 и оценки по английскому языку = 30-12 = 18
Если x = 13
, тогда оценки по математике = 13 и оценки по английскому языку = 30-13 = 17

Разница квадратов двух чисел равна 180.2 + 18y — 12y — 216 = 0
⇒ y (y + 18) — 12 (y + 18) = 0
⇒ (y + 18) (y — 12) = 0
⇒ (y + 18) = 0 или (y — 12) = 0
Либо y = -18, либо y = 12
Но y ≠ -18, поскольку x — это сторона квадрата, которая не может быть отрицательной.
Итак, y = 12
Следовательно, сторона меньшего квадрата = 12 м
Подставляя значение y в уравнение (ii), мы получаем
Сторона большего квадрата = x = y + 6 = 12 + 6 = 18 м

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 см कम है। यदि कर्ण 13 см का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

माना आधार = x см
इसलिए, ऊँचाई = x — 7 см
दिया है, कर्ण = 13 см
पाइथागोरस प्रमेय से, x ^ 2 + (x — 7) ^ 2 = 〖13〗 ^ 2
⇒ x ^ 2 + x ^ 2 — 14x + 49 = 169
⇒ 〖2x〗 ^ 2 — 14x — 120 = 0
⇒ x ^ 2 — 7x — 60 = 0
⇒ x ^ 2 — 12x + 5x — 60 = 0
⇒ x (x — 12) +5 (x — 12) = 0
⇒ (x — 12) (x + 5) = 0
⇒ (x — 12) = 0 या (x + 5) = 0
अर्थात x = 12 या x = -5
लेकिन x ≠ -5, क्योंकि x त्रिभुज की भुजा है।
इसलिए, x = 12 और दूसरी भुजा x-7 = 12-7 = 5
अतः, अन्य दो भुजाएँ 12 см और 5 см हैं।

क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 м ^ 2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

माना बगिया की चौड़ाई = xm
इसलिए, बगिया की लंबाई = 2x m
इसलिए, क्षेत्रफल = x × 2x = 2x ^ 2
प्रश्नानुसार, 2x ^ 2 = 800
⇒x ^ 2 = 400
⇒x = ± 20
क्योंकि बगिया की चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः बगिया की चौड़ाई = 20 м
इसलिए, बगिया की लंबाई = 2 × 20 = 40 м

Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения Пример 4.

1

Решения NCERT Математика класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения — Вот все решения NCERT по математике класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения. Это решение содержит вопросы, ответы, изображения и пошаговое объяснение всей главы 4, озаглавленной «Квадратные уравнения в классе 10». Если вы ученик 10 класса, который использует NCERT Учебник для изучения математики, то вы должны прочитать главу 4 квадратные уравнения. После того, как вы изучили урок, вы должны искать ответы на вопросы учебника.Здесь вы можете получить полные решения NCERT для математики класса 10, глава 4, квадратные уравнения, в одном месте.

Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения Пример 4.1

Решения

NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения Ex 4.1 являются частью решений NCERT для математики класса 10. Здесь мы привели решения NCERT для математики класса 10, глава 4, квадратные уравнения, пример 4.1.

Доска	CBSE
Учебник	NCERT
Класс	Класс 10
Тема	Математика
Глава	Глава 4
Название отдела	Квадратные уравнения
Упражнение	Пр. 4.1
Количество решенных вопросов	2
Категория	Решения NCERT

Пр. 4.1, класс 10, математика, вопрос 1.
Проверьте, являются ли следующие квадратные уравнения:
(i) (x + 1) ² = 2 (x-3)
(ii) x — 2x = (- 2 ) (3-x)
(iii) (x — 2) (x + 1) = (x — 1) (x + 3)
(iv) (x — 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x — 1) (x — 3) = (x + 5) (x — 1)
(vi) x ² + 3x + 1 = (x — 2) ²
( vii) (x + 2) ³ = 2x (x ² — 1)
(viii) x ³ -4x ² -x + 1 = (x-2) ³
Решение:

Решения NCERT, математика, класс 10, глава 4, квадратные уравнения — видео

Вы также можете посмотреть видео решения NCERT Class10 Maths, глава 4, квадратные уравнения, здесь.

Пр. 4.1, класс 10, математика, вопрос 2.
Представьте следующие ситуации в форме квадратных уравнений:
(i) Площадь прямоугольного участка составляет 528 м ² . Длина участка (в метрах) более чем вдвое больше его ширины. Нам нужно найти длину и широту сюжета.
(ii) Произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 306. Нам нужно найти целые числа.
(iii) Мать Рохана на 26 лет старше его. Произведение их возраста (в годах) через 3 года будет 360.Мы хотели бы узнать нынешний возраст Рохана.
(iv) Поезд движется на расстояние 480 км с постоянной скоростью. Если бы скорость была на 8 км / ч меньше, то на то же расстояние потребовалось бы на 3 часа больше. Нам нужно найти скорость поезда.
Решение:

Неверный результат NCVT 2019

Решения NCERT, класс 10, математика, глава 4, квадратные уравнения

Класс 10, математика, глава 4, решения квадратного уравнения приведены ниже в формате PDF. Вы можете просмотреть их в Интернете или загрузить файл PDF для использования в будущем.

или сохраните изображения решений и распечатайте их, чтобы держать их под рукой при подготовке к экзамену. Щелкните здесь, чтобы загрузить решения NCERT для математики класса 10, глава 4 «Квадратные уравнения».

Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4 Квадратичные уравнения (хинди средний) Пример 4.1

Интеллектуальная карта по математике с квадратными уравнениями 10 класса

Квадратное уравнение

Стандартная форма квадратного уравнения относительно переменной x — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа и a 0.
Любое уравнение вида P (x) = 0, где P (x) — многочлен степени 2, является квадратным уравнением.

Ноль / корень квадратного уравнения

Действительное число α называется корнем квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0, если aα ² + bα + c = 0.
Можно сказать, что x = α, является решением квадратного уравнения или что α удовлетворяет квадратному уравнению.
Нули квадратного полинома ax ² + bx + c = 0 и корни уравнения ax ² + bx + c = 0 совпадают.Квадратное уравнение имеет не более двух корней / нулей.

Связь между нулями и коэффициентом квадратного уравнения

Если α и β — нули квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа и a ≠ 0, то

Методы решения квадратного уравнения

Ниже приведены методы, которые используются для решения квадратных уравнений:

(i) Факторизация
(ii) Завершение квадрата
(iii) Квадратичная формула

Методы факторизации

В этом методе мы находим корни квадратного уравнения (ax ² + bx + c = 0), разлагая LHS на два линейных множителя и приравнивая каждый множитель к нулю, e.г.,
6x ² — x — 2 = 0
⇒ 6x ² + 3x — 4x — 2 = 0… (i)
⇒ 3x (2x + 1) — 2 (2x + 1) = 0
⇒ (3x — 2) (2x + 1) = 0
⇒ 3x — 2 = 0 или 2x + 1 = 0

Необходимое условие: Произведение 1-го и последнего членов уравнения. (i) должно быть равно произведению 2-го и 3-го членов того же уравнения.

Способ заполнения квадрата

Это метод преобразования L.H.S. квадратного уравнения, которое не является полным квадратом, в сумму или разность полного квадрата и константы путем сложения и вычитания подходящих постоянных членов.Например,
(1) x ² + 4x — 5 = 0
⇒ x ² + 2 (2) (x) -5 = 0
⇒ x ² + 2 (2) (x) + ( 2) ² — (2) ² -5 = 0
⇒ (x + 2) ² -4-5 = 0
⇒ (x + 2) ² — 9 = 0
⇒ x + 2 = ± 3
⇒ x = –5, 1
(2) 3x ² — 5x + 2 = 0

Квадратичная формула

Рассмотрим квадратное уравнение: ax ² + bx + c = 0.
Если b ² — 4ac ≥ 0, то корни приведенного выше уравнения имеют вид:

Природа корней

Для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0
(a ≠ 0), значение (b ² — 4ac) называется дискриминантом уравнения и обозначается как D.
D = b ² — 4ac
Дискриминант очень важен для определения природы корней.
(i) Если D = 0, то корни действительны и равны.
(ii) Если D> 0, то корни действительны и не равны
(iii) Если D <0, то корни не являются действительными.

Мы надеемся, что NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.1, поможет вам. Если у вас есть какие-либо вопросы относительно решений NCERT для математики класса 10, глава 4, упражнение 4.1 с квадратными уравнениями, оставьте комментарий ниже, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

RD Шарма Класс 10 Математические решения Глава 4 — Квадратные уравнения

Трудности в понимании математики 10-го класса Глава — 4 понятия?
Не волнуйтесь! Упростите подготовку к уроку 10 по математике с помощью NCERT RD Sharma Решения по математике класса 10 Глава 4 — Квадратичные уравнения PDF. Решения для квадратичных уравнений главы 4 готовятся экспертами с учетом всех перечисленных задач упражнений.

Загрузить RD Sharma Class 10 Maths Solutions Глава 4 — Квадратные уравнения

Он содержит все упражнения и тематические важные вопросы.Получите доступ к NCERT RD Sharma CBSE Class 10 Maths Chapter 4 Solutions PDF. Подготовлен предметными экспертами, чтобы упростить подготовку и сделать ее более понятной.

Загрузить все главы RD Sharma Математические решения для класса 10, чтобы с легкостью сдать экзамен.

RD Sharma Class 10 Математические решения Глава 4 — Квадратные уравнения

В главе 2 вы изучали различные типы многочленов. Одним из типов был квадратичный многочлен вида ax2 + bx + c, a ≠ 0.Когда мы приравниваем этот многочлен к нулю, мы получаем квадратное уравнение. Квадратные уравнения возникают, когда мы имеем дело со многими жизненными ситуациями.

Например, предположим, что благотворительный фонд решает построить молитвенный зал с ковровым покрытием площадью 300 квадратных метров, длина которого на один метр превышает ширину в два раза. Какой должна быть длина и ширина зала? Допустим, ширина зала — х метров. Тогда его длина должна быть (2х + 1) метра.

Узнайте больше о главе 4 Математические уравнения 10 класса

Упражнения RD Sharma Класс 10 Решения по математике Глава 4 Квадратичные уравнения

Изучение того, что стоит в упражнениях, упрощает общий подход.Таким образом, мы подготовили для вас мудрое решение для упражнений. Посмотрите, что есть в главе —

.

Подробное упражнение RD Sharma Класс 10 Математические решения Глава 4 — Квадратичные уравнения

Квадратные уравнения — одна из важнейших тем для изучения в вашем классе 10. Таким образом, мы записали все решения по упражнениям ниже. Обязательно бегло взгляните —

RD Шарма Класс 10 Математические решения Глава 4 Упражнение с квадратными уравнениями 4.1

Когда многочлены степени 2 приравниваются к нулю, это квадратное уравнение.Однако эти квадратные уравнения имеют некоторые условия для существования. Вы получите все подробности здесь, в упражнении. Получите копию PDF-файла RD Sharma Class 10 Maths Solutions, глава 4 из этого раздела, чтобы начать подготовку к экзамену по математике.

RD Шарма Класс 10 Математические решения Глава 4 Упражнение с квадратными уравнениями 4.2

Будучи практичными в контексте, мы часто находим применение квадратного уравнения в нашей жизни. Это упражнение позволяет студентам тщательно проверить темы, чтобы сформулировать заданные суммы в квадратных уравнениях.

RD Шарма Класс 10 Математические решения Глава 4 Упражнение с квадратными уравнениями 4.3

Ну, есть несколько способов решить квадратные уравнения. Возьмем, к примеру, решение квадратного уравнения с помощью факторизации, и это основной метод, которому студенты будут следовать для решения сумм здесь, в этом упражнении. Ознакомьтесь с PDF-файлом RD Sharma Class 10 Maths Solutions, глава 4, чтобы получить представление о методе получения хороших оценок на экзамене.

Р. Д. Шарма Класс 10 Математические решения Глава 4 Квадратичные уравнения Упражнение 4.4

В этом упражнении учащиеся изучат второй по важности метод вычисления квадратных уравнений, который называется методом квадратов. Это один из тех процессов, которые сложно понять быстро. Следовательно, вам необходимо надлежащее руководство, такое как RD Sharma Class 10 Maths Solutions, глава 4 PDF. Подробно изучите главу, просмотрев ее содержание, чтобы получить некоторые важные оценки из этого раздела.

Преимущества математических решений RD Sharma Class 10

• Подробное объяснение проблем CBSE по главам с полным списком упражнений
• Уникальный способ объяснения
• Помогает в сдаче конкурсных экзаменов
• Включает дополнительные и важные вопросы

Другие важные математические решения CBSE 10-го RD Sharma

У вас должны быть решения, которые улучшат вашу подготовку к экзамену по математике в 10 классе.

Щелкните ссылку, чтобы получить доступ к другим математическим решениям RD Sharma, относящимся к 10th Maths.

Загрузите все учебные материалы по математике класса 10 CBSE и книги NCERT для лучшей подготовки.

Калькулятор квадратного уравнения и рабочие таблицы с решением

Здравствуйте, друзья! Квадратные уравнения являются неотъемлемой частью математики, которая также имеет применение в различных других областях. Поэтому мы создали этот сайт, чтобы объяснить вам , что такое квадратное уравнение. После понимания концепции квадратных уравнений, вы сможете легко решать квадратные уравнения .

Теперь давайте объясним вам, что такое квадратное уравнение. Это математическое уравнение с наибольшей степенью 2. Оно имеет вид ax ² + bx + c . Здесь x представляет неизвестное значение, а a, b и c представляют известные числа. Решения квадратных уравнений можно использовать по формуле корней квадратного уравнения. Существуют и другие методы поиска решений квадратных уравнений, такие как факторизация, завершение квадрата или построение графиков.Поскольку квадратные уравнения имеют наивысшую степень двойки, всегда будут два решения для x, которые появятся. Эти значения x, которые удовлетворяют уравнению, называются корнями или нулями уравнения. Следовательно, квадратное уравнение всегда будет иметь два корня или решения

В этой статье мы попытались объяснить вам все концепции квадратных уравнений. Если вы студент, то изучение этих концепций очень важно, поскольку это поможет вам решить проблемы в школе.Это важная концепция, которая имеет широкий спектр применения в таких областях, как физика, химия, инженерия и т. Д.

Определение уравнения с квадратичной формулой

Мы обсудили с вами общий формат квадратного уравнения. Теперь, если вам нужно решить квадратное уравнение, вы должны использовать квадратную формулу. Любое квадратное уравнение имеет два решения или корня. Таким образом, вы получите два корня, один из «+» и один из «-», и оба являются решениями уравнения.

Здесь мы предоставили вам таблицу, показывающую квадратную формулу, поэтому вам будет легко ее запомнить и применить.

Калькулятор квадратного уравнения

Калькулятор квадратных уравнений — это специальный калькулятор, который используется для решения сложных квадратных уравнений. Хотя научный калькулятор можно использовать для вычисления корней квадратного уравнения, это всегда неудобный метод. Следовательно, многие онлайн-сайты предоставляют калькуляторы квадратных уравнений, которые очень просты в использовании.Вам просто нужно ввести известные значения a, b и c. Он автоматически вычислит корни квадратных уравнений.

Здесь мы предоставили вам калькулятор квадратного уравнения, в котором вам просто нужно ввести коэффициенты квадратного уравнения.

Рабочие листы по квадратным уравнениям PDF

Даже если вы хорошо знаете, как решать квадратные уравнения, вам нужно попрактиковаться в их решении, чтобы усвоить концепцию. Студентам важно практиковаться в какой-либо теме для достижения совершенства в ней.Следовательно, вы можете оценить, как много вы узнали о квадратных уравнениях, решив задачи из этого рабочего листа.

Этот лист предоставляется в формате PDF, поэтому вы можете распечатать его и носить с собой куда угодно.

График квадратного уравнения

График квадратного уравнения — это график, отображающий значения всех корней квадратного уравнения. Поскольку у квадратного уравнения есть как отрицательные, так и положительные корни, график принимает форму параболы.Следовательно, вы можете построить график квадратного уравнения, найдя разные корни x, которые решают равенство.

Чтобы помочь вам лучше понять график квадратного уравнения, мы предоставили вам график квадратного уравнения, который поможет вам понять, как вы можете построить график квадратного уравнения.

Стандартная форма квадратного уравнения

Стандартная форма квадратного уравнения — это уравнение в форме ax ² + bx + c = 0. Здесь x — неизвестное значение, а a, b и c — переменные. Но иногда квадратные уравнения могут не иметь стандартной формы, и нам, возможно, придется ее расширить.

Здесь мы предоставили вам таблицу, в которой показаны примеры различных форм квадратных уравнений, таких как форма вершины и форма множителя.

Вершинная форма квадратного уравнения определяется выражением:

f ( x ) = a ( x — h ) ² + k , где ( h, k ) — вершина параболы.

Факторизованная форма квадратного уравнения сообщает нам корни квадратного уравнения. Он записывается в виде a⋅ (x − p) ⋅ (x − q) или a⋅ (x − p) 2

Дискриминант квадратного уравнения

В математике дискриминант — это полиномиальная функция своего коэффициента, которая позволяет нам иметь представление о некоторых свойствах корней, не вычисляя их. Следовательно, в случае квадратного уравнения дискриминант является частью квадратного уравнения под квадратным корнем. Это помогает нам определить количество корней квадратного уравнения.

Здесь мы предоставили вам пример дискриминанта квадратного уравнения.

Как решить квадратное уравнение

Как вы знаете, квадратное уравнение — это многочлен со степенью 2. Существуют различные методы, с помощью которых можно решить квадратное уравнение. Ниже приведены методы решения квадратного уравнения:

1. Факторинг

Давайте посмотрим, как использовать метод факторизации для решения квадратного уравнения.

Например, решим уравнение (x + 4) (x-3) = 0

Мы сохраним значение каждого фактора равным 0.

(x + 4) = 0 и (x-3) = 0

Следовательно, x + 4-4 = 0-4; или x-3 + 3 = 0 + 3

x = -4 или x = 3

2. Завершение квадрата

Иногда некоторые квадратные уравнения можно разложить на точные квадраты.

Например, квадратное уравнение x² + 6x + 5 не является полным квадратом. Но если мы добавим к нему 4, он станет идеальным квадратом. И в результате мы получим (x + 3) ².

3. Квадратичная формула

Это наиболее распространенный метод решения квадратного уравнения. Он включает использование квадратной формулы для нахождения решения или корней квадратного уравнения.

Ниже приводится квадратная формула, используемая для решения любого квадратного уравнения:

4. Графики

Используя этот метод, все корни квадратного уравнения могут быть получены заменой любого значения на x, которое разрешает равенство.

Прежде чем решать квадратное уравнение графически, мы должны понять, что такое пересечение по оси x и пересечение по оси y. X-пересечение относится к корням квадратных уравнений, которые пересекают график по оси X. Точно так же Y-точка пересечения относится к корням квадратного уравнения, которое пересекает график по оси Y. Значение пересечений по осям x и y состоит в том, что они изображают насест или решение квадратного уравнения. Вы можете использовать любое значение для точки пересечения по оси X, чтобы найти различные значения точки пересечения по оси Y и нанести соответствующие точки на график.

Использование квадратичной формулы

Мы рассказали вам о различных методах, с помощью которых вы можете найти решения квадратных уравнений. Хотя другие часто используемые методы, такие как разложение на множители и построение графиков, могут использоваться для поиска решений квадратных уравнений, процесс может стать сложным, а результат также может быть неточным.

Следовательно, наиболее предпочтительным методом решения квадратного уравнения является использование квадратной формулы.

Квадратичная формула представлена ​​в виде:

Здесь мы объясним вам, как можно применить квадратное уравнение для решения задач.Вы можете следовать этим пошаговым инструкциям, чтобы решить любое квадратное уравнение:

Например, возьмем квадратное уравнение x ² + 2x + 1 = 0

Теперь найдем дискриминанты уравнения:

Дискриминантная формула = b ² — 4ac

Применяя значения a, b и c в приведенном выше уравнении:

22 — 4 × 1 × 1 = 0

Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:

х = (−2 ± √0) / 2 = −2/2

Следовательно, x = -1

Решатель квадратного уравнения

Часто мы сталкиваемся с решением сложных квадратных уравнений, которые могут быть непростыми и требуют сложных вычислений. Также есть риск получить неверный результат. Таким образом, вы можете воспользоваться средством решения квадратных уравнений, которое по сути является калькулятором квадратных уравнений.

Этот калькулятор прост в использовании и предоставит вам правильные результаты за секунды. Вам просто нужно ввести коэффициенты для a, b и c, и он автоматически найдет значение обоих корней квадратных уравнений для вас.

Чтобы объяснить вам, как решать квадратные уравнения в режиме онлайн с помощью решателя квадратных уравнений, мы предоставили вам видео.

Заключение

Таким образом, в этой статье мы попытались объяснить вам все концепции квадратных уравнений и различные методы, с помощью которых вы можете их решить. Используя такие методы, как факторизация и построение графиков, вы можете легко найти решения любого квадратного уравнения. Но наиболее предпочтительный метод, который можно использовать для решения любого квадратного уравнения, — это квадратная формула. Мы надеемся, что эта статья помогла вам лучше понять квадратные уравнения и позволит легко решать любые квадратные уравнения.

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Решение уравнений — центральная тема алгебры. Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнений .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите квадратное уравнение.
2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
3. Решите квадратное уравнение факторизацией.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением.Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения .

Эта теорема доказана в большинстве учебных пособий по алгебре.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения.Возможно, что два решения равны.

Квадратное уравнение будет иметь два решения, поскольку оно имеет степень два.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — факторинг. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух факторов равно нулю, то по крайней мере один из факторов равен нулю.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Полностью разложить на множители.

Вспомните, как разложить на множители трехчлены.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x. Поскольку у нас есть (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Здесь применяется приведенная выше теорема, согласно которой хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении. Если x = 6, то x ² — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть обозначены либо записью x = 6 и x = — 1, либо записью множества и записью {6, — 1}, что мы читаем: «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать обозначение набора.

В этом примере 6 и -1 называются элементами набора.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения. также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Помните, что каждый член уравнения нужно умножить на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны. Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите неполное квадратное уравнение.
2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если, когда уравнение помещено в стандартную форму ax ² + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение будет неполным квадратичным .

Пример 1

5x ² — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы сталкиваетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

x — общий множитель. Произведение двух факторов равно нулю. Поэтому мы используем теорему из предыдущего раздела. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная система с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, так как факторизация будет возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решить относительно x, если x ² — 12 = 0.

Решение Поскольку x ² — 12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Обратите внимание, что есть два значения, которые в квадрате будут равны A.

Используя эту теорему, мы имеем

Проверьте эти решения.

Добавьте 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите трехчлен полного квадрата.
2. Завершите третий член, чтобы получить трехчлен в виде полного квадрата.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторизации вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена.Общая форма: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

Помните, возведение бинома в квадрат означает его умножение на себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

1. Два из трех членов — полные квадраты. 4x ² и 9 в первом примере, 25x ² и 16 во втором примере и ² и b ² в общем виде.
   

   Другими словами, первое и третье члены являются точными квадратами.

2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Термин -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x ² + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата.Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x ² и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и представляет собой квадратный корень из x ² , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x ² + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x ² + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Напомним, что вместо -7, +9 сделало бы выражение точным квадратом.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пустое поле для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить никаких правил алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-либо к одной стороне, не добавляя то же самое к другой стороне.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 ² = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Помните, что если 9 добавляется к левой части уравнения, это также должно быть добавлено к правой части.

Теперь разложим на множитель полного квадрата трехчлена, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x ² + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность.Первый член, 2x ² , не является полным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Другими словами, получите коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь прибавляем 2 к обеим сторонам, получая

Опять же, это более лаконично.

Пример 7 Решите 3x ² + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все члены на 3.

Опять же, получите коэффициент 1 для x 2 , разделив на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Это выглядит сложно, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут какие-либо затруднения, вам следует еще раз повторить арифметику при сложении чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Найдите x (два значения).

не может быть упрощено. Мы могли бы также записать решение этой проблемы в более сжатой форме как

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Какое действительное число возведем в квадрат и получим -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение путем заполнения квадрата, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и объедините числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

Эти шаги помогут в решении уравнений в следующем упражнении.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В некотором смысле, тогда ax ² + bx + c = 0 представляет все квадраты. Если вы сможете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1. Это мы делали в предыдущем разделе много раз.

Надо прибавить с каждой стороны.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать формулу квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c. Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Осторожно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Опять же, это уравнение в стандартной форме.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите проблемы со словами, для решения которых требуется квадратное уравнение.
2. Решать текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы задач со словами можно решить с помощью квадратных уравнений. Процесс обрисовки и постановки проблемы такой же, как описано в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме. Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше, чем в два раза ширины, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет ширину, то 2x представляет удвоенную ширину, а 2x + 1 представляет единицу более чем удвоенную ширину.

Приведите квадратное уравнение в стандартную форму. Эта квадратичная величина может быть решена путем факторизации.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений.Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Результат измерения не может быть отрицательным.

Величина, обратная x. Помните, что ЖК-дисплей означает наименьший общий знаменатель. Каждый член необходимо умножить в 10 раз. Опять же, этот квадратичный коэффициент можно разложить на множители.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Есть два решения этой проблемы.

Пример 3 Если определенное целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн назвать эти значения в качестве решения, если вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что проблема запрашивала целое число.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200 метров забора и желает оградить прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров. Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Мы могли бы точно так же решить для l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

Как правило, система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
• Стандартная форма квадратного уравнения : ax ² + bx + c = 0, когда a 0.
• Неполное квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
• Квадратичная формула равна
  

Процедуры

• Самым прямым и, как правило, самым простым методом поиска решений квадратного уравнения является факторизация. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
• Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
  Шаг 1 Если коэффициент при x ² не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
  Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x ² + bx + _____ = c + _____
  Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и добавьте эту величину к обеим сторонам. уравнения.
  Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и объедините числа в правой части уравнения.
  Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
  Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
• Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.2} + bx + c = 0, потому что трехчлен в левой части нелегко вынести за скобки. Это не означает, что квадратное уравнение не имеет решения. На этом этапе нам нужно обратиться к прямому подходу квадратной формулы, чтобы найти решения квадратного уравнения или, проще говоря, определить значения x, которые могут удовлетворять уравнению.

  Чтобы использовать квадратную формулу, квадратное уравнение, которое мы решаем, необходимо преобразовать в «стандартную форму», в противном случае все последующие шаги не будут работать.Цель состоит в том, чтобы преобразовать квадратное уравнение таким образом, чтобы квадратное выражение было изолировано с одной стороны уравнения, в то время как противоположная сторона содержала только ноль, 0. 2} + bx + c = 0.

При необходимости снизьте скорость. Будьте осторожны с каждым шагом, упрощая выражения. Здесь обычно случаются типичные ошибки, потому что учащиеся склонны «расслабляться», что приводит к ошибкам, которые можно было предотвратить, например, при сложении, вычитании, умножении и / или делении действительных чисел.

---

Примеры того, как решать квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы

Пример 1 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

При осмотре очевидно, что квадратное уравнение имеет стандартную форму, поскольку правая часть равна нулю, а остальные члены остаются в левой части. То есть получается что-то вроде этого…

Отлично! Нам нужно просто определить значения a, b и c, а затем подставить их в формулу корней квадратного уравнения.

Вот и все! Возьмите за привычку всегда проверять решенные значения x обратно в исходное уравнение.

---

Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение абсолютно не в той форме, в которой мы хотим, потому что правая часть равна НЕ нулю. Мне нужно удалить 7 справа, вычтя обе части на 7. Это решит нашу проблему. После этого решите относительно x как обычно.

Окончательные ответы: {x_1} = 1 и {x_2} = — {2 \ over 3}.

---

Пример 3 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение выглядит как «беспорядок».У меня есть переменные x и константы по обе стороны уравнения. Если мы сталкиваемся с чем-то подобным, всегда придерживайтесь того, что мы знаем. Да, все дело в стандартной форме. Мы должны заставить правую часть равняться нулю. Мы можем сделать это за два шага.

Сначала я вычту обе стороны на 5x, а затем прибавлю 8.

Необходимые нам значения:

a = — 1, b = — \, 8 и c = 2

---

Пример 4 : Решите квадратное уравнение, указанное ниже, с помощью квадратной формулы.

Что ж, если вы думаете, что Пример 3 — это «беспорядок», тогда он должен быть еще более «беспорядочным». Однако вскоре вы поймете, что они действительно очень похожи.

Сначала нам нужно выполнить некоторую очистку, преобразовав это квадратное уравнение в стандартную форму. Звучит знакомо? Поверьте, эта проблема не так плоха, как кажется, если мы знаем, что делать.

Напомню, что нам нужно что-то вроде этого…

Следовательно, мы должны сделать все возможное, чтобы правая часть уравнения была равна нулю.2} термин справа.

• Удалите член x с правой стороны.

• Удалите постоянную с правой стороны.

После получения правильной стандартной формы на предыдущем шаге теперь пора подставить значения a, b и c в формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x.

• Из преобразованной стандартной формы извлеките требуемые значения.

a = 1, b = — \, 4 и c = — \, 14

• Затем вычислите эти значения в формуле корней квадратного уравнения.

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас также заинтересует:

Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Решение квадратных уравнений методом факторизации
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Графики квадратичных диаграмм — Графики | Парабола | Квадратичная функция

Темы

• Графики
• Парабола
• Квадратичная функция
• Вершина

Описание

Узнайте, как изменение коэффициентов меняет форму кривой.Просмотрите графики отдельных терминов (например, y = bx), чтобы увидеть, как они складываются для создания полиномиальной кривой. Сгенерируйте определения для вершины, корней и оси симметрии. Сравните различные формы квадратичной функции. Определите кривую по ее фокусу и направляющей.

Примеры целей обучения

• Опишите, как изменение коэффициентов квадратичной функции меняет график функции.
• Предскажите, как изменится график параболы при изменении коэффициентов или константы.
• Укажите вершину, ось симметрии, корни и направляющую для графика квадратного уравнения.
• Используйте форму вершин квадратичной функции для описания графика функции.
• Опишите взаимосвязь между фокусом и направляющей и результирующей параболой.
• Предскажите график параболы с учетом фокуса и директрисы.

Согласование стандартов

Общее ядро ​​- математика

8.F.A.3

Интерпретируйте уравнение y = mx + b как определяющее линейную функцию, график которой представляет собой прямую линию; приведите примеры функций, которые не являются линейными. Например, функция A = s ² , дающая площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейной, потому что ее график содержит точки (1,1), (2,4) и (3,9 ), которые не находятся на прямой .

HSF-IF.C.7

Графические функции, выраженные символически и показывающие ключевые особенности графика, вручную в простых случаях и с использованием технологий для более сложных случаев. ^*

HSF-IF.C.7a

График линейных и квадратичных функций и отображение точек пересечения, максимумов и минимумов.

HSF-IF.C.8

Напишите функцию, определяемую выражением, в различных, но эквивалентных формах, чтобы раскрыть и объяснить различные свойства функции.

HSF-IF.C.8a

Используйте процесс факторизации и завершения квадрата в квадратичной функции, чтобы показать нули, экстремальные значения и симметрию графика и интерпретировать их в терминах контекста.

HSG-GPE.A.2

Выведите уравнение параболы с учетом фокуса и направляющей.

Версия 1.1.5

HTML5 sim могут работать на iPad и Chromebook, а также в системах ПК, Mac и Linux.

iPad:
iOS 12+ Safari
iPad-совместимые sim-карты

Android:
Официально не поддерживается. Если вы используете симуляторы HTML5 на Android, мы рекомендуем использовать последнюю версию Google Chrome.

Chromebook:
Последняя версия Google Chrome
Симуляторы HTML5 и Flash PhET поддерживаются на всех устройствах Chromebook.
Совместимые с Chromebook sim-карты

Системы Windows:
Microsoft Edge, последняя версия Firefox, последняя версия Google Chrome.

Системы Macintosh:
macOS 10.13+, Safari 13+, последняя версия Chrome.

Системы Linux:
Официально не поддерживается.