Способ 1 1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД) НОД (64 ; 88) = 8 2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД 64 : 8 = 8 88 : 8 = 11 3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь
Способ 2 1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители) 64 = 2∙2∙2∙2∙2∙2 88 = 2∙2∙2∙11
2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
2∙2∙2∙2∙2∙2
2∙2∙2∙11
3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
2∙2∙2∙2∙2∙2
=
2∙2∙2∙11
2∙2∙2∙2∙2∙2
2∙2∙2∙11
4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
2∙2∙2∙2∙2∙2
=
2∙2∙2∙11
2∙2∙2∙2∙2∙2
=
2∙2∙2∙11
Перейти в калькулятор
Сократим дробь 6
20
48
Способ 1 1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
НОД (20 ; 48) = 4 2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД 20 : 4 = 5 48 : 4 = 12 3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь
Способ 2 1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители) 20 = 2∙2∙5 48 = 2∙2∙2∙2∙3
2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
6
2∙2∙5
2∙2∙2∙2∙3
3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
6
2∙2∙5
=
2∙2∙2∙2∙3
6
2∙2∙5
2∙2∙2∙2∙3
4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
6
2∙2∙5
=
2∙2∙2∙2∙3
6
2∙2∙5
=
2∙2∙2∙2∙3
Перейти в калькулятор
Сократим дробь
246
764
Способ 1 1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
НОД (246 ; 764) = 2 2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД 246 : 2 = 123 764 : 2 = 382 3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь
Способ 2 1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители) 246 = 2∙3∙41 764 = 2∙2∙191
2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой. Перейти в калькулятор
Андрей андреевич сокращение дробей. Калькулятор онлайн.Сокращение дробей (неправильных, смешанных)
Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.
Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.
Базовые знания
Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.
Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.
Правила сокращения обыкновенных дробей
Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.
Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.
Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.
Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?
Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.
Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.
Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.
Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.
Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.
Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.
Последовательность действий с дробями со степенями
Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.
Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.
Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.
Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.
Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде: 497: 4 = 124 (1 остаток).
Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое , 4 — делитель .
Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.
Остаток всегда меньше делителя.
Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.
Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r , где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.
Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.
Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».
Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель: \(m:n = \frac{m}{n} \)
Верны следующие правила:
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится: \(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)
Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится: \(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \) Это свойство называют основным свойством дроби .
Два последних преобразования называют сокращением дроби .
Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .
Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число: \(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число: \(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)
Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.
Действия с дробями. Сложение дробей.
С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так: \(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например: \(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.
Сложение смешанных дробей
Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) — ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».
При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .
Вычитание дробей (дробных чисел)
Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например: \(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей: чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.
С помощью букв это правило записывается так: \(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.
С помощью букв правило умножения дробей можно записать так: \(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.
Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.
Деление дробей
Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).
Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .
Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).
С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)
Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)
Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.
Правило деления дроби на дробь: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Используя буквы, правило деления дробей можно записать так: \(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.
Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.
Что значит «сократить дробь «?
Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые — сокращаются, а те, которые несократимые — не сокращаются.
Сократить дробь — это значит разделить ее знаменатель и числитель на их (отличный от единицы) положительный делитель. В результате, конечно, выходит новая дробь с меньшим знаменателем и числителем. Полученная дробь будет равна исходной дроби.
Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием «сократите дробь » это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду. Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.
Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)
Итак, здесь всего два правила.
Первое правило сокращения дробей: сначала нужно будет найти наибольший общий делитель знаменателя и числителя вашей дроби.
Второе правило: делить знаменатель и числитель на наибольший общий делитель, в конечном итоге получить несократимую дробь.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.
Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.
Сокращение смешанных дробей
Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.
Сократить смешанные дроби можно двумя способами.
Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.
Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.
Примеры можно увидеть на фото выше.
Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение: Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Второй способ: Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме: Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании? Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение: Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь? Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150. 100=2⋅2⋅5⋅5 150=2⋅5⋅5⋅3 Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
Какие дроби можно сокращать? Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример: Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Задача. Решите уравнение:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:
Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля .
Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:
Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.
Выводы: собираем все вместе
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
Уравнения можно умножать и делить только на числа k , отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
Сокращение дробей
Главная » Дроби и все, что с ними связано » Сокращение дробей Перевод смешанного числа в неправильную дробь, Как неправильные дроби перевести в смешанные числа, Перевод десятичной дроби в обыкновенную, Перевод обыкновенной дроби в десятичную, Сокращение дробей, Сложение дробей, Вычитание дробей, Умножение дробей, Деление дробей, Сравнение дробей
Сокращение дробей
Смысл записи обыкновенной дроби заключается в том, что знаменатель дроби означает, на сколько частей разделили единицу, а числитель – количество таких частей. Например, дробь 3/7 означает, что единицу разделили на 7 одинаковых частей и взяли три таких части (см. рисунок).
Рис. 1. Обыкновенная дробь 3/7
Основное свойство дроби заключается в том, что
если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби не изменится.
Рассмотрим пример.
означает, что единицу разделили на 4 части и взяли две из них (то есть, половину).
Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 2:
Правильно стоят знаки «=», которые отмечены красным?
означает, что единицу разделили на 8 частей, и взяли 4 из них (то есть, половину).
То есть, дробь
, означает одно и то же – половину единицы.
Поэтому знак «=» поставлен верно:
Такую же величину, как
, будут иметь дроби
Итак, если дробь равна, например,
, то можно заметить, что
Говорят, что мы сократили дробь
Операция деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число называется сокращением дробей.
Онлайн калькулятор
для сокращения дробей
Вы можете сократить любую числовую дробь (без буквенных выражений), воспользовавшись нашим онлайн сервисом вверху страницы. Просто введите дробь вверху страницы и нажмите кнопку «=».
Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:
Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.
Результат решения дробей будет тут…
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Знак дроби «/» + — * : _cтереть Очистить У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Решать дроби «. Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .
Знаки используемые для записи в калькуляторе
Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.
Возможности онлайн калькулятора дробей
Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999. Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду — сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.
Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную. При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.
Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.
Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.
Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т. е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.
Дано:
Решение:
Выполнение сокращения дробей
проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби
1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби
определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби
2) Сокращение числителя и знаменателя дроби
сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби
3) Выделение целой части дроби
выделение целой части алгебраической дроби
4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь
перевод алгебраической дроби в десятичную дробь
Помощь на развитие проекта сайт
Уважаемый Посетитель сайта. Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал. Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.
Спасибо, что не прошели мимо!
I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:
Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:
определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.
В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.
II. Для справки:
Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.
III. Примечание:
Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение: Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Второй способ: Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме: Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании? Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение: Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь? Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150. 100=2⋅2⋅5⋅5 150=2⋅5⋅5⋅3 Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
Какие дроби можно сокращать? Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример: Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
Правила сокращения дробей с примерами. Калькулятор онлайн.Сокращение дробей (неправильных, смешанных)
Вот и добрались до сокращения. Применяется здесь основное свойство дроби. НО! Не всё так просто. Со многими дробями (в том числе из школьного курса) вполне можно им обойтись. А если взять дроби «покруче»? Разберём подробнее! Рекомендую посмотреть материалов с дробями.
Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:
Подход первый.
Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:
Сократим:
В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:
Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.
Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:
— если число чётное то оно делится на 2.
— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.
— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.
Второй подход.
Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):
Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.
Формально принцип сокращения можно записать так:
Подход третий.
Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!
Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:
Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:
А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:
Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:
Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:
Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:
Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:
Следующий пример. Сократим 88179/2717.
Делим, получим:
Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:
Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):
Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95
*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:
Теперь записываем исходное число:
И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.
Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:
Две четвёртых.
Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:
Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.
Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.
Вывод:
Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.
Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.
Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.
*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.
И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.
C уважением, Александр Крутицких.
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение: Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Второй способ: Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме: Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании? Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение: Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь? Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150. 100=2⋅2⋅5⋅5 150=2⋅5⋅5⋅3 Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
Какие дроби можно сокращать? Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример: Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что такое «сокращение дробей»
Сократить дробь
Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .
Приведение дробей к несократимому виду
В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
Найти НОД числителя и знаменателя.
Разделить числитель и знаменатель на их НОД.
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Дана дробь 182 195 . Сократим ее.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13
Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
Сократим дробь 2000 4400 .
Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Задача. Решите уравнение:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:
Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля .
Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:
Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.
Выводы: собираем все вместе
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
Уравнения можно умножать и делить только на числа k , отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
App Store: Калькулятор дробей 4-в-1
Калькулятор и конвертер дробей идеально подходят для студентов, инженеров, строителей и всех, кому требуется комплексное приложение для вычислений с дробями.
Приложения включает 4 калькулятора для вычисления дробей:
• КАЛЬКУЛЯТОР ДРОБЕЙ — Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, смешанных дробей и целых чисел. — Калькулятор выполняет вычисления с двумя и тремя дробями. Для решения примеров с тремя дробями, просто переверните устройство в горизонтальное положение (альбомную ориентацию). — Калькулятор показывает пошаговое решение. — Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
• ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ — Калькулятор для перевода обыкновенных дробей в десятичные и десятичных дробей в обыкновенные. — Округление дробей до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256. — Для перевода обыкновенной дроби в десятичную: выберите опцию «Дроби», введите дробь и нажмите знак «=». — Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, выберите опцию «Десятичные числа», введите десятичное число и нажмите знак «=». При вводе периодических дробей, период надо заключить в скобки. Например, число 0.24333… должно быть записано 0.24(3), число 5.123123… как 5.(123).
• СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ — Калькулятор для сокращения правильных и неправильных дробей и смешанных чисел. — Калькулятор показывает детальное решение.
• СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ — Калькулятор для сравнения 2 и 3 дробей. Чтобы сравнить три дроби, Вы должны выбрать альбомную ориентации. — Показывает пошаговое решение. — С помощью этого калькулятора можно сравнивать дроби и смешанные числа.
Возможности: • Приложение показывает пошаговое решение. • Калькулятор хранит историю ваших недавних вычислений. • Кнопки Вперед и Назад для перехода между проведенными вычислениями (с возможностью редактирования). • Вы можете отправлять результаты и историю вычислений по электронной почте. • Портретная и альбомная ориентация.
Настройки приложения: — Возможность округления десятичных результатов вычислений. По умолчанию приложение округляет до двух десятичных знаков. — Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256. — 7 цветовых схем для настройки внешнего вида приложения.
Присылайте нам свои идеи, пожелания и комментарии по улучшению работы приложения.
Калькулятор и конвертер дробей разработан фирмой Intemodino Group.
Как сокращать большие числа в дробях. Калькулятор онлайн.Сокращение дробей (неправильных, смешанных)
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение: Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Второй способ: Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
Вопросы по теме: Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании? Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение: Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
На какие числа можно сокращать дробь? Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150. 100=2⋅2⋅5⋅5 150=2⋅5⋅5⋅3 Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
Какие дроби можно сокращать? Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример: Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
Внимание! К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе 555. Для тех, кто сильно «не очень…» И для тех, кто «очень даже…»)
Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.
Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?
Виды дробей. Преобразования.
Дроби бывают трёх видов.
1. Обыкновенные дроби , например:
Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее — знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает…), скажите себе с выражением фразу: «Ззззз апомни! Ззззз наменатель — вниззззз у!» Глядишь, всё и ззззапомнится.)
Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления — две точки.
Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби «32/8» гораздо приятнее написать число «4». Т.е. 32 просто поделить на 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Я уж и не говорю про дробь «4/1». Которая тоже просто «4». А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.
2. Десятичные дроби , например:
Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания «В».
3. Смешанные числа , например:
Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните… На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.
Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !
Основное свойство дроби.
Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:
Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.
А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но… человек — существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.
Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .
Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.
Например, надо упростить выражение:
Тут и думать нечего, зачеркиваем букву «а» сверху и двойку снизу! Получаем:
Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на «а». Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть «а» в выражении
и получить снова
Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на «а» уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!
Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё… пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?
Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?
Как переводить дроби из одного вида в другой.
С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.
А если целых — не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель — то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .
А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.
Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела «В» получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются…
Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно…)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.
Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000… Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.
А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333… Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !
Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе «В» в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.
Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками… Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.
Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:
Спокойно, без паники соображаем. Целая часть — это 1. Единица. Дробная часть — 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части — 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:
Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.
Обратная операция — перевод неправильной дроби в смешанное число — в старших классах редко требуется. Ну если уж… И если Вы — не в старших классах — можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.
Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?
Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !
Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм… злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?
0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!
Подведём итоги этого урока.
1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.
2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.
3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное — перейти к обыкновенным дробям.
Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):
На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего…) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил… Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).
Если Вам нравится этот сайт…
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Дроби и их сокращение — еще одна тема, которая начинается в 5 классе. Здесь формируется база этого действия, а потом эти умения тянутся ниточкой в высшую математику. Если ученик не усвоил, то у него могут возникнуть проблемы в алгебре. Поэтому лучше уяснить несколько правил раз и навсегда. А еще запомнить один запрет и никогда его не нарушать.
Дробь и ее сокращение
Что это такое, знает каждый ученик. Любые две цифры расположенные между горизонтальной чертой сразу воспринимаются, как дробь. Однако не все понимают, что ею может стать любое число. Если оно целое, то его всегда можно разделить на единицу, тогда получится неправильная дробь. Но об этом позже.
Начало всегда простое. Сначала нужно выяснить, как сократить правильную дробь. То есть такую, у которой числитель меньше, чем знаменатель. Для этого потребуется вспомнить основное свойство дроби. Оно утверждает, что при умножении (так же, как и делении) одновременно ее числителя и знаменателя на одинаковое число получается, равноценная исходной дробь.
Действия деления, которые выполняются в этом свойстве и приводят к сокращению. То есть максимальному ее упрощению. Дробь можно сокращать до тех пор, пока над чертой и под ней есть общие множители. Когда их уже не будет, то сокращение невозможно. И говорят, что эта дробь несократимая.
Два способа
1. Пошаговое сокращение. В нем используется метод прикидки, когда оба числа делятся на минимальный общий множитель, который заметил ученик. Если после первого сокращения видно, что это не конец, то деление продолжается. Пока дробь не станет несократимой.
2. Нахождение наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя. Это самый рациональный способ того, как сокращать дроби. Он подразумевает разложение числителя и знаменателя на простые множители. Среди них потом нужно выбрать все одинаковые. Их произведение даст наибольший общий множитель, на который сокращается дробь.
Оба эти способа равноценны. Ученику предлагается освоить их и пользоваться тем, который больше понравился.
Что делать, если есть буквы и действия сложения и вычитания?
С первой частью вопроса все более-менее понятно. Буквы можно сокращать так же как и числа. Главное, чтобы они выступали в роли множителей. А вот со второй у многих возникают проблемы.
Важно запомнить! Сокращать можно только числа, которые являются множителями. Если они слагаемые — нельзя.
Для того чтобы понять, как сокращать дроби, имеющие вид алгебраического выражения, нужно усвоить правило. Сначала представить числитель и знаменатель в виде произведения. Потом можно сокращать, если появились общие множители. Для представления в виде множителей пригодятся такие приемы:
группировка;
вынесение за скобку;
применение тождеств сокращенного умножения.
Причем последний способ дает возможность сразу получить слагаемые в виде множителей. Поэтому его необходимо использовать всегда, если видна известная закономерность.
Но это еще не страшно, потом появляются задания со степенями и корнями. Вот тогда требуется набраться смелости и усвоить пару новых правил.
Выражение со степенью
Дробь. В числителе и знаменателе произведение. Есть буквы и числа. А они еще и возведены в степень, которая тоже состоит из слагаемых или множителей. Есть чего испугаться.
Для того чтобы разобраться в том, как сокращать дроби со степенями, потребуется выучить два момента:
если в показателе степени стоит сумма, то ее можно разложить на множители, степенями которых будут исходные слагаемые;
если разность, то на делимое и делитель, у первого в степени будет уменьшаемое, у второго — вычитаемое.
После выполнения этих действий становятся видны общие множители. В таких примерах нет необходимости вычислять все степени. Достаточно просто сократить степени с одинаковыми показателями и основаниями.
Для того чтобы окончательно усвоить то, как сокращать дроби со степенями, нужно много практиковаться. После нескольких однотипных примеров действия будут выполняться уже автоматически.
А если в выражении стоит корень?
Его тоже можно сократить. Только опять же, соблюдая правила. Причем верны все те, которые были описаны выше. В общем, если стоит вопрос о том, как сократить дробь с корнями, то нужно делить.
На иррациональные выражения тоже можно разделить. То есть если в числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, заключенные под знак корня, то их можно смело сокращать. Это приведет к упрощению выражения и выполнению задания.
Если после сокращения под чертой дроби осталась иррациональность, то от нее нужно избавиться. Другими словами, умножить на нее числитель и знаменатель. Если после этой операции появились общие множители, то их снова нужно будет сократить.
Вот, пожалуй, и все о том, как сокращать дроби. Правил немного, а запрет один. Никогда не сокращать слагаемые!
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.
Примеры .
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.
Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:
Получили несократимые дроби.
Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.
Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:
Все полученные числа являются несократимыми дробями.
Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:
Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:
Полученную дробь еще можем сократить на 3:
Эта дробь — несократимая.
Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.
Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.
Калькулятор упрощенных дробей
Использование калькулятора
Преобразование неправильных дробей в смешанные числа в простейшей форме. Этот калькулятор также упрощает правильные дроби, сокращая их до наименьших значений и показывая объем работы.
Для упрощения дроби должно быть:
Число, которое делится на числитель и знаменатель без остатка, чтобы его можно было уменьшить, или
Числитель должен быть больше знаменателя (неправильная дробь), чтобы его можно было преобразовать в смешанное число.
Что такое неправильная дробь?
Неправильная дробь — это любая дробь, числитель которой больше знаменателя. Примеры неправильных дробей: 16/3, 81/9, 525/71.
Как преобразовать неправильную дробь в смешанное число
Разделим числитель на знаменатель
Запишите результат целиком
Используйте остаток как новый числитель над знаменателем.Это дробная часть смешанного числа.
Пример: преобразовать неправильную дробь 16/3 в смешанное число.
Разделим 16 на 3: 16 ÷ 3 = 5 с остатком от 1
Результат целого числа — 5
Остаток равен 1. При 1 в числителе и 3 в знаменателе дробная часть смешанного числа равна 1/3.
Смешанное число 5 1/3.Итак, 16/3 = 5 1/3.
По возможности, этот калькулятор сначала сокращает неправильную дробь до наименьшего числа, а затем находит смешанную числовую форму.
Пример: преобразование неправильной дроби 45/10 в смешанное число.
Связанные калькуляторы
Дополнительное объяснение факторинга чисел для нахождения наибольшего общего множителя (GCF) см. В Калькулятор наибольшего общего коэффициента.
Если ваши неправильные дробные числа большие, вы можете использовать Длинное деление с калькулятором остатков, чтобы найти целые числа и остатки при упрощении дробей вручную.
Чтобы выполнять математические операции с дробями, прежде чем вы их упрощаете, попробуйте наш Калькулятор дробей. Этот калькулятор также превратит неправильные дроби в смешанные числа.
Уменьшить дробь до наименьшего значения
Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, факторинг триномов многочленов, разложение на множители с GCF Полиномы, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок
Калькулятор уменьшающих дробей
| Онлайн-калькулятор для упрощения дробей
В математике дробь обычно определяет часть целого.Дробь должна быть представлена в виде числителя и знаменателя. Дроби подразделяются на несколько типов, например, подобные, непохожие, правильные, неправильные, смешанные и т. Д. Если данная дробь представлена в виде большого целого числа, ее можно упростить, уменьшив ее до наименьшего целочисленного значения. Например, если у числителя и знаменателя есть общий множитель, удалите его.
Как упростить дроби?
Один из самых простых и простых способов уменьшить дроби — использовать Калькулятор сокращения на нашей странице.Если вы хотите уменьшить дробь вручную, есть несколько способов. Мы перечислили некоторые из них. Найдите тот, который вам больше всего подходит, и легко сократите дроби.
Метод проб и ошибок
При использовании метода проб и ошибок для упрощения дробей вам просто нужно разделить числитель и знаменатель на наименьшее число, которое, по вашему мнению, является общим множителем для обоих. Продолжайте процесс, и после каждого успешного сокращения вам нужно повторять процесс до тех пор, пока у числителя и знаменателя не останется общих факторов.
Метод наибольшего общего коэффициента
Чтобы использовать метод наибольшего общего множителя для упрощения дробей, вам необходимо вычислить GCF как числителя, так и знаменателя. После этого разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель.
Независимо от того, какой метод вы выберете для упрощения дробей, это может быть утомительным и трудоемким. Мы предлагаем вам использовать наш калькулятор сокращения при работе с дробями.
Пример
Уменьшить дробь 36/45 до наименьшего члена?
Решение:
Для дроби 36/45 числитель 36 и знаменатель 45
Первый шаг к сокращению дробей — найти GCF числителя и знаменателя
GCF из 36, 45 — это самый большой общий делитель 9, который делит оба числа
36/45 = (36 ÷ 9) / (45 ÷ 9)
= 4/5
Следовательно, 36/45 можно сократить до простейших дробей как 4/5
Калькулятор упрощения дроби
для уменьшения дроби до простейшей формы
Онлайн-калькулятор для упрощения дробей упрощает целое или смешанное число, правильную и неправильную дробь в простейшую форму дроби.Проще говоря, этот калькулятор редуктора дроби сокращает правильные / неправильные дроби и смешанные числа, чтобы упростить дроби. Кроме того, вы можете попробовать этот лучший калькулятор онлайн, если вы хотите сложить, вычесть, умножить и разделить 2 или 3 дроби,
Что ж, дайте прочитать, чтобы узнать, как упростить дроби вручную и с помощью калькулятора упрощения дробей. Начнем с основ!
Что такое упрощение дробей?
Слово «фракция» является производным от латинского слова «Fractio», что означает «разбивать».Следовательно, дробь — это простое числовое представление комплексных чисел. Дробь в простейшей форме — это дробь, в которой единственный общий делитель ее верхнего числа или числителя и нижнего числа или знаменателя равен 1. Кроме того, каждое целое число также может быть записано в дробной форме, поскольку 4 можно записать с помощью 4/1. • Калькулятор упрощения дроби — лучший способ справиться со сложными правильными, неправильными и смешанными дробями.
Пример упрощенной дроби:
Если исходная дробь равна 12/4, то какова ее простейшая форма?
12/4 = при делении на 2 = 6/2 = 3/1
Однако ответы этого ручного расчета можно проверить с помощью упрощенного калькулятора дробей, чтобы избежать любого риска ошибки.
О калькуляторе для упрощения дробей:
Этот упрощающий калькулятор дробей позволяет упростить смешанные или целые числа, правильные / неправильные дроби до самой простой формы дроби. Все, что вам нужно — ввести значения в соответствующие поля этого упрощенного калькулятора дробей, чтобы получить упрощенную форму дробей.
Как уменьшить дробь с помощью этого усилителя дроби:
Что ж, этот калькулятор для сокращения фракций на 100% бесплатный и довольно прост в использовании, так как он имеет удобный интерфейс; просто учтите эти шаги, чтобы упростить дроби:
Калькулятор редуктора дроби содержит три поля:
Для полного или смешанного числа (необязательно)
Для числителя значение
Для знаменателя
Ввод:
Если вы хотите преобразовать смешанное число в простейшую дробную форму, вам необходимо ввести значения во все обозначенные поля
И, если вы хотите свести неправильные и правильные дроби к простейшей форме, вам просто нужно ввести значения числителя и знаменателя в соответствующие поля
Выходы:
После того, как вы введете значения, пора нажать кнопку расчета, этот упрощающий калькулятор дробей сгенерирует:
упрощенная дробь по заданным исходным данным
Смешанное число для данных входов (отображается только в том случае, если упрощенные дроби преобразованы в неправильную форму дробей)
Упрощение дроби представляет собой процедуру, позволяющую максимально упростить дробь.Например, если дробь равна 4/8, то ее упрощенная форма дроби будет: 2/4 и 1/2.
Существует два распространенных метода упрощения дробей следующим образом:
Вы можете разделить верхнее и нижнее числа данной дроби на 2, 3, 5, 7 и т. Д. Такое разделение будет продолжаться до тех пор, пока вы не сможете идти дальше. Например, если дробь составляет 24/108, то при делении ее на 2 она будет преобразована в 12/54. Теперь ее можно еще раз разделить на 2. Он будет преобразован в 6/27.Чтобы упростить задачу, мы можем разделить его на 3. Теперь это будет 2/9. Следовательно, 24/108 = 2/9.
Деление верхнего и нижнего чисел дроби на наибольший общий множитель также может упростить его. Например, если дробь равна 8/12, а GCF — 4, тогда дробь будет 2/3. Однако использование калькулятора упрощенной дроби является наилучшим возможным средним для этой цели.
Как преобразовать неправильную дробь в смешанное число?
Для представления дробей в простейшей форме иногда необходимо преобразовать неправильные дроби в смешанные числа.Для этого следуйте приведенному ниже набору правил, чтобы уменьшить дробь вручную:
На первом этапе просто разделите числитель или верхнее число на знаменатель или нижнее число дроби.
Теперь обратите внимание на целое число, полученное в результате вышеуказанного шага.
Вы можете использовать остаток в качестве нового числителя или верхнего числа над знаменателем или нижним числом. Это будет самая простая часть смешанного числа. Используйте упрощенный калькулятор дробей, чтобы упростить вычисления и избежать всех этих шагов.
Пример:
Если неправильная дробь — 16/3, то как она будет преобразована в смешанное число?
Следуйте первому правилу и разделите верхнее число на нижнее число дроби: 16 разделить на 3 = 5. Остаток будет 1
В данном случае целое число — «5»
1 будет записано как числитель или верхнее число, а 3 будет записано как знаменатель или нижнее число.
Полученная дробь смешанного числа: 1/3
Смешанное число будет 5.
Следовательно, это будет записано как: 5 * 1/3
Можно сделать вывод, что 16/3 = 5 * 1/3.
Калькулятор упрощения дробей сначала приводит любую неправильную дробь к наименьшей возможной форме, а затем находит смешанное число.
Часто задаваемые вопросы (Упростите / сократите дроби до наименьшей формы): Как упростить дроби на калькуляторе?
Что ж, это довольно просто, все, что вам нужно, ввести смешанные числа или правильные / неправильные дроби, соответствующие кнопке «A b / c», которую вы видите на научном калькуляторе.Кроме того, просто загрузите онлайн-калькулятор упрощения дробей, чтобы преобразовать дроби в простейшую форму.
Как решить дробь на дробь?
Если вы хотите упростить сложные дроби, все, что вам нужно, начать с поиска значения, обратного знаменателю, что вы можете сделать, просто перевернув дробь. Сразу после; просто умножьте эту новую дробь на числитель. Теперь у вас есть одна простая дробь.
Что такое 18 разделить на 30 как дробь?
18, разделенное на 30, выражается дробью как 3/5.
Как рассчитать дроби на калькуляторе?
Прежде всего, вам нужно ввести числитель дроби, а затем нажать клавишу деления и ввести знаменатель. Теперь просто нажмите кнопку «равно», и результат отобразится в виде десятичной дроби. Теперь вы не можете преобразовать десятичную дробь в дробь на калькуляторе, но калькулятор может помочь вам сделать это с помощью карандаша и бумаги.
Как упростить дробь до наименьшего числа?
Чтобы уменьшить дробь до наименьшего числа, все, что вам нужно, разделить числитель и знаменатель на их GCF (наибольший общий коэффициент).Это также называется упрощением дроби.
Как упростить 2 дроби?
Прежде всего, вам нужно умножить два числителя, а затем просто умножить два знаменателя. Теперь вам следует упростить новые дроби. Кроме того, дроби можно легко упростить перед умножением путем факторизации общих множителей в числителе и знаменателе.
Что такое 3/5 в самом низком семестре?
Когда дело доходит до 3/5 в самом низком выражении, это можно записать тремя способами:
3/5 (правильная дробь в числителе меньше знаменателя)
0.6 как десятичное число
60% в процентах
Что такое 3/12 в самом низком выражении?
3/12 в самой низкой форме, выраженной как 1/4. Вы также можете добавить 3/12 в онлайн-калькулятор упрощенных дробей, чтобы получить результат с наименьшими значениями.
Что такое 2/5 в самом низком семестре?
2/5 в наименьшем члене, выраженном тремя способами:
2/5 (это уже в сокращенной форме и считается правильной дробью, поскольку вы можете видеть, что числитель меньше знаменателя)
0.4 в виде десятичного числа
40% в процентах
Как разделить и упростить дроби?
Когда дело доходит до деления дробей, все, что вам нужно, — это найти обратную величину (поменять местами числитель и знаменатель) второй дроби. Сразу после этого вам следует умножить два числителя. Теперь просто умножьте два знаменателя. Наконец, все, что вам нужно для упрощения дробей (если требуется).
Как упростить дроби с разными знаменателями?
Если у вас есть дроби с разными знаменателями, вы просто используете эквивалентные дроби с общим знаменателем.Для этого вам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей. Итак, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вам нужно переименовать дроби с общим знаменателем. Наконец, добавьте и упростите!
Что такое 1/6 в самом низком выражении?
1/6 в низших терминах:
Что такое 2/4 в самом низком выражении?
2/4 в самой низкой форме, выраженной как 1/2.
Что такое 3/6 в простейшей форме?
3/6 в простейшей форме, выраженной как 1/2.
Какой самый низкий член для 6/10?
6/10 в простейшей форме, выраженной как 3/5.
Что такое 1/2 в самом низком семестре?
1/2 в младшем члене:
1/2 (это не может быть дополнительно упрощено в наименьшем члене, это правильная дробь, поскольку числитель меньше знаменателя)
0,5 в виде десятичного числа
50% в процентах
Еда на вынос:
Этот онлайн-калькулятор для упрощения дробей упрощает сложные дроби, а затем заменяет их простейшими дробями.Это позволяет быстро и точно сокращать фракции по сравнению с ручными вычислениями, не требующими дополнительных затрат. Кроме того, этот упрощитель дробей поможет вам в учебе в учебных целях.
Артикул:
Из источника wikihow — Сообщество редакторов, исследователей и специалистов: Как упростить сложные дроби
Из источника sosmath: все, что вам нужно знать о сокращении дробей
Источник virtualnerd, содержащий: Дроби / Сложные дроби: как упростить дробь до дроби.
Авторизованный метод smartickmethod показывает: Дроби, Учебные ресурсы — Как упростить дроби: Дроби с наименьшими членами
Усилитель фракции
* gcf = наибольший общий делитель
Калькулятор дробей ►
Дробь в упрощенную таблицу дробей
Фракция
Упрощенное Дробь
1/2
1/2
1/3
1/3
2/3
2/3
1/4
1/4
2/4
1/2
3/4
3/4
1/5
1/5
2/5
2/5
3/5
3/5
4/5
4/5
1/6
1/6
2/6
1/3
3/6
1/2
4/6
2/3
5/6
5/6
1/7
1/7
2/7
2/7
3/7
3/7
4/7
4/7
5/7
5/7
6/7
6/7
1/8
1/8
2/8
1/4
3/8
3/8
4/8
1/2
5/8
5/8
6/8
3/4
7/8
7/8
1/9
1/9
2/9
2/9
3/9
1/3
4/9
4/9
5/9
5/9
6/9
2/3
7/9
7/9
8/9
8/9
1/10
1/10
2/10
1/5
3/10
3/10
4/10
2/5
5/10
1/2
6/10
3/5
7/10
7/10
8/10
4/5
9/10
9/10
См. Также
Напишите, как улучшить эту страницу
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ
СТОЛЫ БЫСТРЫЙ
Этот веб-сайт использует файлы cookie для улучшения вашего опыта, анализа трафика и отображения рекламы.Учить больше Калькулятор уменьшающих дробей
Калькулятор уменьшения дробей сокращает дробь до ее простейшего вида. Дробь определяется как часть или часть любого количества из целого, где целое может быть любым числом, определенным значением или вещью.
Что такое калькулятор уменьшающих дробей?
Калькулятор сокращения дробей — это онлайн-инструмент, который помогает уменьшить дробь до самой простой формы.Этот онлайн-калькулятор сокращающих дробей поможет вам уменьшить дробь до самой простой формы за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор сокращенных дробей, введите числитель и знаменатель в соответствующее поле ввода.
ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значения до трех цифр.
Как пользоваться калькулятором дробей?
Выполните следующие действия, чтобы уменьшить дробь до ее простейшего вида с помощью онлайн-калькулятора дробей:
Шаг 1: Зайдите в онлайн-калькулятор дробей Cuemath.
Шаг 2: Введите значения числителя и знаменателя в данное поле ввода калькулятора уменьшающих дробей.
Шаг 3: Нажмите кнопку «Уменьшить» , чтобы уменьшить дробь до ее простейшего вида.
Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.
Как работает калькулятор сокращения дробей?
Сокращающая дробь имеет простейшую форму, если ее числитель и знаменатель не имеют общего множителя, кроме 1.
Итак, чтобы упростить дроби, запишите множители числителя и знаменателя и отметьте в них общие множители.
Затем разделите числитель и знаменатель на общие множители, пока у них не будет общего множителя, кроме 1. Полученная таким образом дробь имеет простейшую форму.
Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.
Хотите найти сложные математические решения за секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.Cuemath находит решения простым и легким способом.
Забронируйте бесплатную пробную версию Класс
Решенный пример по уменьшению фракций
Уменьшить заданную дробь 4/6 и проверить ее с помощью калькулятора дробей?
Решение :
Дано: Дробь = 4/6
Множители 4 = 1, 2, 4
Множители 6 = 1, 2, 3, 6
Итак, общие множители 4 и 6 равны 1 и 2.
Разделив 4 и 6 на 2, мы получим 2 и 3 соответственно.
Итак, сокращенная форма 4/6 равна 2/3.
Теперь попробуйте калькулятор уменьшенной дроби и сократите дробь до ее простейшего вида для:
☛
Статьи по теме:
Калькулятор упрощения дробей
Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко упростить дроби.
Быстрая навигация:
Упрощение дробей
Как упростить дроби?
Практические примеры
Упрощение дробей
Упрощение дробей — это действие деления числителя и знаменателя (верхнего и нижнего) на наибольшее число, которое точно делит каждую из них.За счет упрощения дробь становится максимально простой, например, 10/20 становится 1/2, а 4/9 становится 2/3. Точно так же дробь, которая больше 1, станет составной, например 13/3 станет 4 1/3.
Как упростить дроби?
Наивный метод — попытаться разделить (точно, без остатка) числитель и знаменатель на 2,3,5,7,9 … (простые числа) до тех пор, пока вы не сможете больше разделить обе части на одно и то же число. Например, 24/60 можно разделить на 2, чтобы получить 12/30, а затем разделить на 2, чтобы получить 6/15, которые затем можно разделить на 3, чтобы получить 2/5.2/5 больше нельзя делить на одно и то же число без остатка.
Более продвинутый метод — сначала найти наибольший общий делитель (НОД), также известный как наибольший общий делитель (НОД), а затем разделить на него числитель и знаменатель. Наибольший общий множитель 24 и 60 равен 12, поэтому, разделив 24/12 и 60/12, вы получите 2/5, точно так же, как при использовании первого метода. Конечно, во всех случаях быстрее и проще просто использовать наш онлайн-калькулятор упрощенных дробей, указанный выше.
Практические примеры
Пример задания №1: Вы читаете в источнике новостей, что статистическое обследование показало, что 20 из каждых 100 мужчин в Испании не имеют работы.Как упростить эту дробь?
Решение : дробь составляет 20/100, обе можно разделить на 2, в результате чего получится 10/50, оба из которых можно далее разделить на 2, в результате получится 5/25, которые нельзя разделить на 2 или 3, но его можно разделить на 5, в результате чего получится 1/5, который нельзя делить дальше. 20/80 упрощенное — 1/5. Вы можете проверить результат с помощью нашего онлайн-калькулятора упрощенных дробей.
Пример задания № 2: у вас есть пицца с 12 кусочками, и вам сказали, что вы можете съесть 4 из 12 кусочков.
Калькулятор для сокращение дробей: Онлайн калькулятор для сокращения дробей.
Калькулятор сокращения дробей
Примеры сокращения дробей
Способ 1
1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
НОД (64 ; 88) = 8
2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД
64 : 8 = 8
88 : 8 = 11
3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь
Способ 2
1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители)
64 = 2∙2∙2∙2∙2∙2
88 = 2∙2∙2∙11
2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
3.
4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
Способ 1
Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
1.
2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД
20 : 4 = 5
48 : 4 = 12
3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь
Способ 2
1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители)
20 = 2∙2∙5
48 = 2∙2∙2∙2∙3
2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
4.
Способ 1
1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД
246 : 2 = 123
764 : 2 = 382
3.
Способ 2
1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители)
246 = 2∙3∙41
764 = 2∙2∙191
2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
Перейти в калькулятор
Андрей андреевич сокращение дробей. Калькулятор онлайн.Сокращение дробей (неправильных, смешанных)
Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру.
Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.
Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.
Базовые знания
Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.
Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.
Правила сокращения обыкновенных дробей
Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот.
Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.
Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.
Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.
Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?
Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.
Для этого потребуется выполнить несколько действий.
Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.
Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.
Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.
Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.
Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.
Последовательность действий с дробями со степенями
Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними.
Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.
Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.
Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.
Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.
Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).
Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое , 4 — делитель .
Остаток всегда меньше делителя.
Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.
Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.
Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.
Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление .
Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».
Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)
Верны следующие правила:
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.
Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)
Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .
Два последних преобразования называют сокращением дроби .
Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .
Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .
Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 — целая часть, а \(\frac{2}{3} \) — дробная часть.
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)
Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)
Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n.
Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.
Действия с дробями. Сложение дробей.
С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.
Сложение смешанных дробей
Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) — ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».
При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .
Вычитание дробей (дробных чисел)
Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.
С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.
С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.
Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.
Деление дробей
Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).
Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .
Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).
С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)
Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)
Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.
Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.
Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.
Что значит «сократить дробь «?
Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые — сокращаются, а те, которые несократимые — не сокращаются.
Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием «сократите дробь » это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду. Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.
Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)
Итак, здесь всего два правила.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.
Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.
Сокращение смешанных дробей
Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.
Сократить смешанные дроби можно двумя способами.
Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.
Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.
Примеры можно увидеть на фото выше.
Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
\(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).
Решение:
Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
Найдем НОД(48, 136).
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
Пример:
Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)
Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
\(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
\(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
\(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
\(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)
На какие числа можно сокращать дробь?
Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя.
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)
Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)
Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
\(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)
Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)
Решение:
а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки.
А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться.
Вспомним правило работы с уравнениями:
Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:
Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.
Выводы: собираем все вместе
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
Сокращение дробей
Главная » Дроби и все, что с ними связано » Сокращение дробейПеревод смешанного числа в неправильную дробь, Как неправильные дроби перевести в смешанные числа, Перевод десятичной дроби в обыкновенную, Перевод обыкновенной дроби в десятичную, Сокращение дробей, Сложение дробей, Вычитание дробей, Умножение дробей, Деление дробей, Сравнение дробей
Сокращение дробей
Смысл записи обыкновенной дроби заключается в том, что знаменатель дроби означает, на сколько частей разделили единицу, а числитель – количество таких частей. Например, дробь 3/7 означает, что единицу разделили на 7 одинаковых частей и взяли три таких части (см. рисунок).
Рис. 1. Обыкновенная дробь 3/7
Основное свойство дроби заключается в том, что
если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число,
то величина дроби не изменится.
Рассмотрим пример.
Правильно стоят знаки «=», которые отмечены красным?
Операция деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число называется сокращением дробей.
Онлайн калькулятор
для сокращения дробей
Вы можете сократить любую числовую дробь (без буквенных выражений), воспользовавшись нашим онлайн сервисом вверху страницы. Просто введите дробь вверху страницы и нажмите кнопку «=».
Калькулятор онлайн.Сокращение дробей (неправильных, смешанных). Сокращение дробей
Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:
- Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
- Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.
Результат решения дробей будет тут…
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дроби «/» + — * :
_cтереть Очистить
У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Решать дроби «. Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .
Знаки используемые для записи в калькуляторе
Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.Возможности онлайн калькулятора дробей
Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999.Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду — сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.
Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби.
Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.
Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.
Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.
Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.
е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.
Дано:
Решение:
Выполнение сокращения дробей
проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби
1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби
определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби
2) Сокращение числителя и знаменателя дроби
сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби
3) Выделение целой части дроби
выделение целой части алгебраической дроби
4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь
перевод алгебраической дроби в десятичную дробь
Помощь на развитие проекта сайт
Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.
Спасибо, что не прошели мимо!
I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:
II. Для справки:
Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы.
Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.
III. Примечание:
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
\(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
Пример:
Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)
Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
\(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
\(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
\(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
\(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)
Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)
Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
\(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)
Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)
Решение:
а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем).
От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки.
В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
Правила сокращения дробей с примерами. Калькулятор онлайн.Сокращение дробей (неправильных, смешанных)
Вот и добрались до сокращения. Применяется здесь основное свойство дроби. НО! Не всё так просто. Со многими дробями (в том числе из школьного курса) вполне можно им обойтись. А если взять дроби «покруче»? Разберём подробнее! Рекомендую посмотреть материалов с дробями.Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится.
Рассмотрим три подхода:
Подход первый.
Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:
Сократим:
В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:
Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.
Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:
— если число чётное то оно делится на 2.
— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3.
Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.
— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.
— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.
Второй подход.
Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):
Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.
Формально принцип сокращения можно записать так:
Подход третий.
Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!
Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:
Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:
А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:
Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:
Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:
Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:
Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:
Следующий пример.
Сократим 88179/2717.
Делим, получим:
Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:
Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):
Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95
*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:
Теперь записываем исходное число:
И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.
Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:
Две четвёртых.
Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:
Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.
Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.
Вывод:
Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.
Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.
Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.
*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.
И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.
C уважением, Александр Крутицких.
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
\(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
Пример:
Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)
Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
\(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
\(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
\(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
\(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)
Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)
Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
\(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)
Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)
Решение:
а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что такое «сокращение дробей»
Сократить дробьСократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .
Приведение дробей к несократимому виду
В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Дана дробь 182 195 . Сократим ее.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13
Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
Сократим дробь 2000 4400 .
Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:
Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля . В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:
Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.
Выводы: собираем все вместе
Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:
Помните эти правила и не допускайте ошибок.
Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.
Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.
К этому же ответу можем прийти другим путем.
И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.
И еще один вариант решения.
В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.
App Store: Калькулятор дробей 4-в-1
Калькулятор и конвертер дробей идеально подходят для студентов, инженеров, строителей и всех, кому требуется комплексное приложение для вычислений с дробями.
Приложения включает 4 калькулятора для вычисления дробей:
• КАЛЬКУЛЯТОР ДРОБЕЙ
— Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей, смешанных дробей и целых чисел.
— Калькулятор выполняет вычисления с двумя и тремя дробями. Для решения примеров с тремя дробями, просто переверните устройство в горизонтальное положение (альбомную ориентацию).
— Калькулятор показывает пошаговое решение.
— Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
• ПЕРЕВОД ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ
— Калькулятор для перевода обыкновенных дробей в десятичные и десятичных дробей в обыкновенные.
— Округление дробей до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
— Для перевода обыкновенной дроби в десятичную: выберите опцию «Дроби», введите дробь и нажмите знак «=».
— Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, выберите опцию «Десятичные числа», введите десятичное число и нажмите знак «=».
При вводе периодических дробей, период надо заключить в скобки. Например, число 0.24333… должно быть записано 0.24(3), число 5.123123… как 5.(123).
• СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
— Калькулятор для сокращения правильных и неправильных дробей и смешанных чисел.
— Калькулятор показывает детальное решение.
• СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
— Калькулятор для сравнения 2 и 3 дробей. Чтобы сравнить три дроби, Вы должны выбрать альбомную ориентации.
— Показывает пошаговое решение.
— С помощью этого калькулятора можно сравнивать дроби и смешанные числа.
Возможности:
• Приложение показывает пошаговое решение.
• Калькулятор хранит историю ваших недавних вычислений.
• Кнопки Вперед и Назад для перехода между проведенными вычислениями (с возможностью редактирования).
• Вы можете отправлять результаты и историю вычислений по электронной почте.
• Портретная и альбомная ориентация.
Настройки приложения:
— Возможность округления десятичных результатов вычислений. По умолчанию приложение округляет до двух десятичных знаков.
— Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
— 7 цветовых схем для настройки внешнего вида приложения.
Присылайте нам свои идеи, пожелания и комментарии по улучшению работы приложения.
Калькулятор и конвертер дробей разработан фирмой Intemodino Group.
• https://intemodino.com
• Facebook: https://www.facebook.com/Intemodino
• Twitter: https://twitter.com/intemodino
Как сокращать большие числа в дробях. Калькулятор онлайн.Сокращение дробей (неправильных, смешанных)
Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.
Сокращение дробей, определение и формула.
Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?
Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .
Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.
\(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)
Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)
Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.
\(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)
Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.
\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.
Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.
Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.
Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).
Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)
Правило сокращения дроби до несократимого вида.
Пример:
Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).
Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)
Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.
Сокращение неправильной дроби.
Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.
Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).
Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.
\(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)
Сокращение смешанных дробей.
Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.
Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).
Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.
\(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)
Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.
\(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)
Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:
Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .
Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.
\(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)
На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).
Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)
Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).
Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.
\(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)
Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).
Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.
Пример:
Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).
Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):
\(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)
Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.
Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)
Решение:
а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)
Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.
Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?
Виды дробей. Преобразования.
Дроби бывают трёх видов.
1. Обыкновенные дроби , например:
Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее — знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает…), скажите себе с выражением фразу: «Ззззз апомни! Ззззз наменатель — вниззззз у!» Глядишь, всё и ззззапомнится.)
Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления — две точки.
Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби «32/8» гораздо приятнее написать число «4». Т.е. 32 просто поделить на 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Я уж и не говорю про дробь «4/1». Которая тоже просто «4». А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.
2. Десятичные дроби , например:
Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания «В».
3. Смешанные числа , например:
Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните… На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.
Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !
Основное свойство дроби.
Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:
Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.
А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но… человек — существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.
Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .
Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.
Например, надо упростить выражение:
Тут и думать нечего, зачеркиваем букву «а» сверху и двойку снизу! Получаем:
Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на «а». Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть «а» в выражении
и получить снова
Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на «а» уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!
Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё… пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?
Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?
Как переводить дроби из одного вида в другой.
С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.
А если целых — не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель — то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .
А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.
Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела «В» получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются…
Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно…)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.
Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000… Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.
А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333… Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !
Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе «В» в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.
Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками… Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.
Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:
Спокойно, без паники соображаем. Целая часть — это 1. Единица. Дробная часть — 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части — 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:
Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.
Обратная операция — перевод неправильной дроби в смешанное число — в старших классах редко требуется. Ну если уж… И если Вы — не в старших классах — можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.
Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?
Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !
Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм… злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?
0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!
Подведём итоги этого урока.
1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.
2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.
3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное — перейти к обыкновенным дробям.
Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):
На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего…) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил… Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).
Если Вам нравится этот сайт…Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Дроби и их сокращение — еще одна тема, которая начинается в 5 классе. Здесь формируется база этого действия, а потом эти умения тянутся ниточкой в высшую математику. Если ученик не усвоил, то у него могут возникнуть проблемы в алгебре. Поэтому лучше уяснить несколько правил раз и навсегда. А еще запомнить один запрет и никогда его не нарушать.
Дробь и ее сокращение
Что это такое, знает каждый ученик. Любые две цифры расположенные между горизонтальной чертой сразу воспринимаются, как дробь. Однако не все понимают, что ею может стать любое число. Если оно целое, то его всегда можно разделить на единицу, тогда получится неправильная дробь. Но об этом позже.
Начало всегда простое. Сначала нужно выяснить, как сократить правильную дробь. То есть такую, у которой числитель меньше, чем знаменатель. Для этого потребуется вспомнить основное свойство дроби. Оно утверждает, что при умножении (так же, как и делении) одновременно ее числителя и знаменателя на одинаковое число получается, равноценная исходной дробь.
Действия деления, которые выполняются в этом свойстве и приводят к сокращению. То есть максимальному ее упрощению. Дробь можно сокращать до тех пор, пока над чертой и под ней есть общие множители. Когда их уже не будет, то сокращение невозможно. И говорят, что эта дробь несократимая.
Два способа
1. Пошаговое сокращение. В нем используется метод прикидки, когда оба числа делятся на минимальный общий множитель, который заметил ученик. Если после первого сокращения видно, что это не конец, то деление продолжается. Пока дробь не станет несократимой.
2. Нахождение наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя. Это самый рациональный способ того, как сокращать дроби. Он подразумевает разложение числителя и знаменателя на простые множители. Среди них потом нужно выбрать все одинаковые. Их произведение даст наибольший общий множитель, на который сокращается дробь.
Оба эти способа равноценны. Ученику предлагается освоить их и пользоваться тем, который больше понравился.
Что делать, если есть буквы и действия сложения и вычитания?
С первой частью вопроса все более-менее понятно. Буквы можно сокращать так же как и числа. Главное, чтобы они выступали в роли множителей. А вот со второй у многих возникают проблемы.
Важно запомнить! Сокращать можно только числа, которые являются множителями. Если они слагаемые — нельзя.
Для того чтобы понять, как сокращать дроби, имеющие вид алгебраического выражения, нужно усвоить правило. Сначала представить числитель и знаменатель в виде произведения. Потом можно сокращать, если появились общие множители. Для представления в виде множителей пригодятся такие приемы:
Причем последний способ дает возможность сразу получить слагаемые в виде множителей. Поэтому его необходимо использовать всегда, если видна известная закономерность.
Но это еще не страшно, потом появляются задания со степенями и корнями. Вот тогда требуется набраться смелости и усвоить пару новых правил.
Выражение со степенью
Дробь. В числителе и знаменателе произведение. Есть буквы и числа. А они еще и возведены в степень, которая тоже состоит из слагаемых или множителей. Есть чего испугаться.
Для того чтобы разобраться в том, как сокращать дроби со степенями, потребуется выучить два момента:
После выполнения этих действий становятся видны общие множители. В таких примерах нет необходимости вычислять все степени. Достаточно просто сократить степени с одинаковыми показателями и основаниями.
Для того чтобы окончательно усвоить то, как сокращать дроби со степенями, нужно много практиковаться. После нескольких однотипных примеров действия будут выполняться уже автоматически.
А если в выражении стоит корень?
Его тоже можно сократить. Только опять же, соблюдая правила. Причем верны все те, которые были описаны выше. В общем, если стоит вопрос о том, как сократить дробь с корнями, то нужно делить.
На иррациональные выражения тоже можно разделить. То есть если в числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, заключенные под знак корня, то их можно смело сокращать. Это приведет к упрощению выражения и выполнению задания.
Если после сокращения под чертой дроби осталась иррациональность, то от нее нужно избавиться. Другими словами, умножить на нее числитель и знаменатель. Если после этой операции появились общие множители, то их снова нужно будет сократить.
Вот, пожалуй, и все о том, как сокращать дроби. Правил немного, а запрет один. Никогда не сокращать слагаемые!
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.
Примеры .
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.
Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:
Получили несократимые дроби.
Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.
Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:
Все полученные числа являются несократимыми дробями.
Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:
Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:
Полученную дробь еще можем сократить на 3:
Эта дробь — несократимая.
Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.
Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.
Калькулятор упрощенных дробей
Использование калькулятора
Преобразование неправильных дробей в смешанные числа в простейшей форме. Этот калькулятор также упрощает правильные дроби, сокращая их до наименьших значений и показывая объем работы.
Для упрощения дроби должно быть:
Что такое неправильная дробь?
Неправильная дробь — это любая дробь, числитель которой больше знаменателя. Примеры неправильных дробей: 16/3, 81/9, 525/71.
Как преобразовать неправильную дробь в смешанное число
Пример: преобразовать неправильную дробь 16/3 в смешанное число.
По возможности, этот калькулятор сначала сокращает неправильную дробь до наименьшего числа, а затем находит смешанную числовую форму.
Пример: преобразование неправильной дроби 45/10 в смешанное число.
Связанные калькуляторы
Дополнительное объяснение факторинга чисел для нахождения наибольшего общего множителя (GCF) см. В Калькулятор наибольшего общего коэффициента.
Если ваши неправильные дробные числа большие, вы можете использовать Длинное деление с калькулятором остатков, чтобы найти целые числа и остатки при упрощении дробей вручную.
Чтобы выполнять математические операции с дробями, прежде чем вы их упрощаете, попробуйте наш Калькулятор дробей. Этот калькулятор также превратит неправильные дроби в смешанные числа.
Уменьшить дробь до наименьшего значения
Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, TemperatureConversion, FindConversion, MassConversion, Mass анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DividingFractions, MultiplyingFractions, SubplicationFractions are, SubplicationFractions , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, Equation from slope и y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов многочленов, факторинг триномов многочленов, разложение на множители с GCF Полиномы, умножение многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, РазделениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Методы Правые треугольники, Ветер, рисунок
Калькулятор уменьшающих дробей| Онлайн-калькулятор для упрощения дробей
В математике дробь обычно определяет часть целого.Дробь должна быть представлена в виде числителя и знаменателя. Дроби подразделяются на несколько типов, например, подобные, непохожие, правильные, неправильные, смешанные и т. Д. Если данная дробь представлена в виде большого целого числа, ее можно упростить, уменьшив ее до наименьшего целочисленного значения. Например, если у числителя и знаменателя есть общий множитель, удалите его.
Как упростить дроби?
Один из самых простых и простых способов уменьшить дроби — использовать Калькулятор сокращения на нашей странице.Если вы хотите уменьшить дробь вручную, есть несколько способов. Мы перечислили некоторые из них. Найдите тот, который вам больше всего подходит, и легко сократите дроби.
Метод проб и ошибок
При использовании метода проб и ошибок для упрощения дробей вам просто нужно разделить числитель и знаменатель на наименьшее число, которое, по вашему мнению, является общим множителем для обоих. Продолжайте процесс, и после каждого успешного сокращения вам нужно повторять процесс до тех пор, пока у числителя и знаменателя не останется общих факторов.
Метод наибольшего общего коэффициента
Чтобы использовать метод наибольшего общего множителя для упрощения дробей, вам необходимо вычислить GCF как числителя, так и знаменателя. После этого разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель.
Независимо от того, какой метод вы выберете для упрощения дробей, это может быть утомительным и трудоемким. Мы предлагаем вам использовать наш калькулятор сокращения при работе с дробями.
Пример
Уменьшить дробь 36/45 до наименьшего члена?
Решение:
Для дроби 36/45 числитель 36 и знаменатель 45
Первый шаг к сокращению дробей — найти GCF числителя и знаменателя
GCF из 36, 45 — это самый большой общий делитель 9, который делит оба числа
36/45 = (36 ÷ 9) / (45 ÷ 9)
= 4/5
Следовательно, 36/45 можно сократить до простейших дробей как 4/5
Калькулятор упрощения дробидля уменьшения дроби до простейшей формы
Онлайн-калькулятор для упрощения дробей упрощает целое или смешанное число, правильную и неправильную дробь в простейшую форму дроби.Проще говоря, этот калькулятор редуктора дроби сокращает правильные / неправильные дроби и смешанные числа, чтобы упростить дроби. Кроме того, вы можете попробовать этот лучший калькулятор онлайн, если вы хотите сложить, вычесть, умножить и разделить 2 или 3 дроби,
Что ж, дайте прочитать, чтобы узнать, как упростить дроби вручную и с помощью калькулятора упрощения дробей. Начнем с основ!
Что такое упрощение дробей?Слово «фракция» является производным от латинского слова «Fractio», что означает «разбивать».Следовательно, дробь — это простое числовое представление комплексных чисел. Дробь в простейшей форме — это дробь, в которой единственный общий делитель ее верхнего числа или числителя и нижнего числа или знаменателя равен 1. Кроме того, каждое целое число также может быть записано в дробной форме, поскольку 4 можно записать с помощью 4/1. • Калькулятор упрощения дроби — лучший способ справиться со сложными правильными, неправильными и смешанными дробями.
Пример упрощенной дроби:Если исходная дробь равна 12/4, то какова ее простейшая форма?
Однако ответы этого ручного расчета можно проверить с помощью упрощенного калькулятора дробей, чтобы избежать любого риска ошибки.
О калькуляторе для упрощения дробей:Этот упрощающий калькулятор дробей позволяет упростить смешанные или целые числа, правильные / неправильные дроби до самой простой формы дроби. Все, что вам нужно — ввести значения в соответствующие поля этого упрощенного калькулятора дробей, чтобы получить упрощенную форму дробей.
Как уменьшить дробь с помощью этого усилителя дроби:Что ж, этот калькулятор для сокращения фракций на 100% бесплатный и довольно прост в использовании, так как он имеет удобный интерфейс; просто учтите эти шаги, чтобы упростить дроби:
Калькулятор редуктора дроби содержит три поля:
Ввод:
Выходы:
После того, как вы введете значения, пора нажать кнопку расчета, этот упрощающий калькулятор дробей сгенерирует:
- упрощенная дробь по заданным исходным данным
- Смешанное число для данных входов (отображается только в том случае, если упрощенные дроби преобразованы в неправильную форму дробей)
- Пошаговый расчет, соответствующий заданным входным значениям
- Упрощенная дробь в десятичной форме
Как упростить дроби?Упрощение дроби представляет собой процедуру, позволяющую максимально упростить дробь.Например, если дробь равна 4/8, то ее упрощенная форма дроби будет: 2/4 и 1/2.
Существует два распространенных метода упрощения дробей следующим образом:
- Вы можете разделить верхнее и нижнее числа данной дроби на 2, 3, 5, 7 и т. Д. Такое разделение будет продолжаться до тех пор, пока вы не сможете идти дальше. Например, если дробь составляет 24/108, то при делении ее на 2 она будет преобразована в 12/54. Теперь ее можно еще раз разделить на 2. Он будет преобразован в 6/27.Чтобы упростить задачу, мы можем разделить его на 3. Теперь это будет 2/9. Следовательно, 24/108 = 2/9.
- Деление верхнего и нижнего чисел дроби на наибольший общий множитель также может упростить его. Например, если дробь равна 8/12, а GCF — 4, тогда дробь будет 2/3. Однако использование калькулятора упрощенной дроби является наилучшим возможным средним для этой цели.
Как преобразовать неправильную дробь в смешанное число?Для представления дробей в простейшей форме иногда необходимо преобразовать неправильные дроби в смешанные числа.Для этого следуйте приведенному ниже набору правил, чтобы уменьшить дробь вручную:
Пример:
Если неправильная дробь — 16/3, то как она будет преобразована в смешанное число?
Калькулятор упрощения дробей сначала приводит любую неправильную дробь к наименьшей возможной форме, а затем находит смешанное число.
Часто задаваемые вопросы (Упростите / сократите дроби до наименьшей формы): Как упростить дроби на калькуляторе?Что ж, это довольно просто, все, что вам нужно, ввести смешанные числа или правильные / неправильные дроби, соответствующие кнопке «A b / c», которую вы видите на научном калькуляторе.Кроме того, просто загрузите онлайн-калькулятор упрощения дробей, чтобы преобразовать дроби в простейшую форму.
Как решить дробь на дробь?Если вы хотите упростить сложные дроби, все, что вам нужно, начать с поиска значения, обратного знаменателю, что вы можете сделать, просто перевернув дробь. Сразу после; просто умножьте эту новую дробь на числитель. Теперь у вас есть одна простая дробь.
Что такое 18 разделить на 30 как дробь?18, разделенное на 30, выражается дробью как 3/5.
Как рассчитать дроби на калькуляторе?Прежде всего, вам нужно ввести числитель дроби, а затем нажать клавишу деления и ввести знаменатель. Теперь просто нажмите кнопку «равно», и результат отобразится в виде десятичной дроби. Теперь вы не можете преобразовать десятичную дробь в дробь на калькуляторе, но калькулятор может помочь вам сделать это с помощью карандаша и бумаги.
Как упростить дробь до наименьшего числа?Чтобы уменьшить дробь до наименьшего числа, все, что вам нужно, разделить числитель и знаменатель на их GCF (наибольший общий коэффициент).Это также называется упрощением дроби.
Как упростить 2 дроби?Прежде всего, вам нужно умножить два числителя, а затем просто умножить два знаменателя. Теперь вам следует упростить новые дроби. Кроме того, дроби можно легко упростить перед умножением путем факторизации общих множителей в числителе и знаменателе.
Что такое 3/5 в самом низком семестре?Когда дело доходит до 3/5 в самом низком выражении, это можно записать тремя способами:
- 3/5 (правильная дробь в числителе меньше знаменателя)
- 0.6 как десятичное число
- 60% в процентах
Что такое 3/12 в самом низком выражении?3/12 в самой низкой форме, выраженной как 1/4. Вы также можете добавить 3/12 в онлайн-калькулятор упрощенных дробей, чтобы получить результат с наименьшими значениями.
Что такое 2/5 в самом низком семестре?2/5 в наименьшем члене, выраженном тремя способами:
- 2/5 (это уже в сокращенной форме и считается правильной дробью, поскольку вы можете видеть, что числитель меньше знаменателя)
- 0.4 в виде десятичного числа
- 40% в процентах
Как разделить и упростить дроби?Когда дело доходит до деления дробей, все, что вам нужно, — это найти обратную величину (поменять местами числитель и знаменатель) второй дроби. Сразу после этого вам следует умножить два числителя. Теперь просто умножьте два знаменателя. Наконец, все, что вам нужно для упрощения дробей (если требуется).
Как упростить дроби с разными знаменателями?Если у вас есть дроби с разными знаменателями, вы просто используете эквивалентные дроби с общим знаменателем.Для этого вам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей. Итак, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вам нужно переименовать дроби с общим знаменателем. Наконец, добавьте и упростите!
Что такое 1/6 в самом низком выражении?1/6 в низших терминах:
Что такое 2/4 в самом низком выражении?2/4 в самой низкой форме, выраженной как 1/2.
Что такое 3/6 в простейшей форме?3/6 в простейшей форме, выраженной как 1/2.
Какой самый низкий член для 6/10?6/10 в простейшей форме, выраженной как 3/5.
Что такое 1/2 в самом низком семестре?1/2 в младшем члене:
- 1/2 (это не может быть дополнительно упрощено в наименьшем члене, это правильная дробь, поскольку числитель меньше знаменателя)
- 0,5 в виде десятичного числа
- 50% в процентах
Еда на вынос:Этот онлайн-калькулятор для упрощения дробей упрощает сложные дроби, а затем заменяет их простейшими дробями.Это позволяет быстро и точно сокращать фракции по сравнению с ручными вычислениями, не требующими дополнительных затрат. Кроме того, этот упрощитель дробей поможет вам в учебе в учебных целях.
Артикул:Из источника wikihow — Сообщество редакторов, исследователей и специалистов: Как упростить сложные дроби
Из источника sosmath: все, что вам нужно знать о сокращении дробей
Источник virtualnerd, содержащий: Дроби / Сложные дроби: как упростить дробь до дроби.
Авторизованный метод smartickmethod показывает: Дроби, Учебные ресурсы — Как упростить дроби: Дроби с наименьшими членами
Усилитель фракции
* gcf = наибольший общий делитель
Калькулятор дробей ►
Дробь в упрощенную таблицу дробей
Дробь
См. Также
Напишите, как улучшить эту страницу
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ
СТОЛЫ БЫСТРЫЙ
Этот веб-сайт использует файлы cookie для улучшения вашего опыта, анализа трафика и отображения рекламы.Учить больше Калькулятор уменьшающих дробей— Бесплатный онлайн-калькулятор уменьшающих дробей
Калькулятор уменьшения дробей сокращает дробь до ее простейшего вида. Дробь определяется как часть или часть любого количества из целого, где целое может быть любым числом, определенным значением или вещью.
Что такое калькулятор уменьшающих дробей?
Калькулятор сокращения дробей — это онлайн-инструмент, который помогает уменьшить дробь до самой простой формы.Этот онлайн-калькулятор сокращающих дробей поможет вам уменьшить дробь до самой простой формы за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор сокращенных дробей, введите числитель и знаменатель в соответствующее поле ввода.
ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значения до трех цифр.
Как пользоваться калькулятором дробей?
Выполните следующие действия, чтобы уменьшить дробь до ее простейшего вида с помощью онлайн-калькулятора дробей:
Как работает калькулятор сокращения дробей?
Сокращающая дробь имеет простейшую форму, если ее числитель и знаменатель не имеют общего множителя, кроме 1.
Итак, чтобы упростить дроби, запишите множители числителя и знаменателя и отметьте в них общие множители.
Затем разделите числитель и знаменатель на общие множители, пока у них не будет общего множителя, кроме 1. Полученная таким образом дробь имеет простейшую форму.
Давайте разберемся в этом с помощью следующего примера.
Хотите найти сложные математические решения за секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.Cuemath находит решения простым и легким способом.
Забронируйте бесплатную пробную версию Класс
Решенный пример по уменьшению фракцийУменьшить заданную дробь 4/6 и проверить ее с помощью калькулятора дробей?
Решение :Дано: Дробь = 4/6
Множители 4 = 1, 2, 4
Множители 6 = 1, 2, 3, 6
Итак, общие множители 4 и 6 равны 1 и 2.
Разделив 4 и 6 на 2, мы получим 2 и 3 соответственно.
Итак, сокращенная форма 4/6 равна 2/3.
Теперь попробуйте калькулятор уменьшенной дроби и сократите дробь до ее простейшего вида для:
☛
Статьи по теме:Калькулятор упрощения дробей
Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко упростить дроби.
Быстрая навигация:
- Упрощение дробей
- Как упростить дроби?
- Практические примеры
Упрощение дробейУпрощение дробей — это действие деления числителя и знаменателя (верхнего и нижнего) на наибольшее число, которое точно делит каждую из них.За счет упрощения дробь становится максимально простой, например, 10/20 становится 1/2, а 4/9 становится 2/3. Точно так же дробь, которая больше 1, станет составной, например 13/3 станет 4 1/3.
Как упростить дроби?Наивный метод — попытаться разделить (точно, без остатка) числитель и знаменатель на 2,3,5,7,9 … (простые числа) до тех пор, пока вы не сможете больше разделить обе части на одно и то же число. Например, 24/60 можно разделить на 2, чтобы получить 12/30, а затем разделить на 2, чтобы получить 6/15, которые затем можно разделить на 3, чтобы получить 2/5.2/5 больше нельзя делить на одно и то же число без остатка.
Более продвинутый метод — сначала найти наибольший общий делитель (НОД), также известный как наибольший общий делитель (НОД), а затем разделить на него числитель и знаменатель. Наибольший общий множитель 24 и 60 равен 12, поэтому, разделив 24/12 и 60/12, вы получите 2/5, точно так же, как при использовании первого метода. Конечно, во всех случаях быстрее и проще просто использовать наш онлайн-калькулятор упрощенных дробей, указанный выше.
Практические примерыПример задания №1: Вы читаете в источнике новостей, что статистическое обследование показало, что 20 из каждых 100 мужчин в Испании не имеют работы.Как упростить эту дробь?
Решение : дробь составляет 20/100, обе можно разделить на 2, в результате чего получится 10/50, оба из которых можно далее разделить на 2, в результате получится 5/25, которые нельзя разделить на 2 или 3, но его можно разделить на 5, в результате чего получится 1/5, который нельзя делить дальше. 20/80 упрощенное — 1/5. Вы можете проверить результат с помощью нашего онлайн-калькулятора упрощенных дробей.
Пример задания № 2: у вас есть пицца с 12 кусочками, и вам сказали, что вы можете съесть 4 из 12 кусочков.